Приклад 5.22 . Розв’язати рівняння
Розв’язання. Винесемо за дужки Отримаємо:
Приклад 5.23. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Позначимо . Маємо . Корені квадратного
рівняння: і . Оскільки то нас влаштовує тільки корінь . Тоді
Якщо невідома змінна міститься під знаком логарифма або в його основі, то таке рівняння називається логарифмічним. При розв’язуванні логарифмічних рівнянь обов’язково потрібно враховувати властивості логарифмічної функції : , , .
Приклад 5.24. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке:
Розв’яжемо нерівність :Парабола не має точок перетину з віссю . Отже, для будь-яких . Тоді Þ , . За означенням логарифма маємо
Þ Þ Þ , .
Приклад 5.25 . Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Визначимо ОДЗ цього рівняння: Þ .
До лівої частини рівняння застосуємо властивість , тобто ліва частина дорівнює логарифму дробу В правій частині рівняння . Тоді початкове рівняння набуде вигляду За означенням логарифма . Оскільки то .
Приклад 5.26. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке: . До лівої частини рівняння застосуємо властивість . За означенням десяткового логарифма , , , . Врахуємо, що , тоді не є коренем цього рівняння.
Завдання для самостійної роботи
5.14. Розв’язати рівняння:
а) b) c) d)
e) f) g)
h) i) j)
k) l)
m) n) o) p)
5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
При розв’язуванні нерівностей, що містять показникову або логарифмічну функцію, треба пам’ятати властивості цих функцій, а саме те, що при є монотонно зростаючими, а при – монотонно спадними. Таким чином, маємо нерівності
; .
Аналогічно:
.
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей також треба пам’ятати, що функція визначена тільки при .
Приклад 5.27 . Розв язати нерівність
Розв’язання. Оскільки функція – монотонно зростаюча і , то нерівність, задана за умовою, еквівалентна таким нерівностям:
,
(застосовано метод інтервалів для розв’язування нерівностей).
Приклад 5.28. Розв’язати нерівність
Розв’язання. Покладемо . Тоді . Враховуючи, що
, одержимо .
Приклад 5.29 . Розв’язати нерівність
Розв’язання. ОДЗ цієї нерівності така:
Оскільки – монотонно спадна функція, то задана нерівність еквівалентна нерівності . Остання нерівність з урахуванням того, що – монотонно зростаюча функція, рівносильна нерівності З урахуванням ОДЗ одержимо відповідь: (рис. 5.8).
Рис. 5.8
Приклад 5.30. Розв’язати нерівність
Розв’язання. Зведемо праву частину до основи : , одержимо . Функція - монотонно спадна. Тому, якщо , а і , то . Отже, з нерівності випливає , або . Розв’яжемо квадратну нерівність:
Таким чином, Þ (рис. 5.9).
Приклад 5.31. Розв’язати нерівність
Розв’язання. Врахуємо, що Тоді а функція монотонно зростає. Це означає, що для будь-яких і (при ), що належать області допустимих значень функції, . Тоді, якщо то Розв’яжемо квадратну нерівність: Тоді
Þ (рис. 5.10).
Рис. 5.9 Рис. 5.10
Завдання для самостійної роботи
5.16. Розв’язати нерівності:
а) b) c) d) e)
f) g) h)
i) j) k) l) m) n)
o) p) q)