Нехай і . Застосовуючи властивості арифметичних дій, маємо:
1) додавання (віднімання): ;
2) множення:
;
3) ділення:
.
Остання дія була виконана з урахуванням властивості спряжених комплексних чисел: . Завдяки множенню знаменника на його спряжене у знаменнику одержано дійсне число, яке далі розглядається як коефіцієнт.
Піднесення комплексного числа до степеня n та обчислення кореня n-го степеня краще виконувати у тригонометричній формі.
Нехай . Тоді:
а) піднесення до степеня n: – формула Муавра;
б) обчислення кореня n-го степеня: , .
Зауваження 1. Важливо знати значення різних степенів числа :
, , , , , , … Отже, . Крім того; .
Зауваження 2. З урахуванням властивостей тригонометричних функцій корінь
n-го степеня з будь-якого комплексного числа має рівно n різних значень.
Приклад 6.1. Знайти суму, різницю, добуток і частку комплексних чисел .
Розв’язання: 1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Приклад 6.2. Знайти суму, різницю, добуток і частку комплексних чисел .
Розв’язання: 1) ( – дійсне число);
2) ( – уявне число);
3) ( – дійсне число);
4) .
Приклад 6.3.Записати числа , у тригонометричній формі.
Розв’язання.За формулою , де , а
, знаходимо:
: , , , ;
, , ,
;
: , , , ;
: , , ,
.
Приклад 6.4.Обчислити: а) ; б) .
Розв’язання: а) За формулою маємо
( ).
б) Якщо , то . Отже, у тригонометричній формі маємо . За формулою Муавра з урахуванням і одержимо
.
Оскільки період функцій і , то аргументи цих функцій краще записати так: . Отже, з урахуванням періодичності відповідних функцій і формул зведення маємо
.
Запишемо останній вираз у алгебраїчній формі. Оскільки , маємо .
Приклад 6.5.Обчислити .
Розв’язання. Оскільки корінь n-го степеня з комплексного числа обчислюється за формулою , запишемо число у тригонометричній формі: , тобто . Отже, . Задамо і одержимо три різні корені.
Відповідь: ;
;
(якщо , тобто для корені відповідно збігаються).
Зауваження 3. 1) корінь 3-го степеня має три різні значення; 2) арифметичний корінь (на множині дійсних чисел) збігається з ; 3) два інші корені є спряженими комплексними числами: .
Приклад 6.6.Розв’язати рівняння: а) ; б) .
Розв’язання.а) .
б) Такі рівняння легко розв’язувати, якщо виділити повний квадрат. Отже, .
Завдання для самостійної роботи
Обчислити:
6.1. . 6.2. .
6.3. . 6.4. . 6.5. . 6.6. .
6.7. . 6.8 . 6.9. . 6.10. .
6.11. . 6.12. . 6.13. . 6.14. .
Розв’язати рівняння та зобразити їхні корені на комплексній площині:
6.15. . 6.16. . 6.17. . 6.18. .
6.19. . 6.20. . 6.21. . 6.22. .