Означення 1. Дріб вигляду , де – многочлени, називається раціональним; якщо , то раціональний дріб є правильним.
Означення 2. Раціональні дроби де називаються елементарними.
Має місце твердження: правильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми елементарних дробів. Зокрема, справедливо,що
Для знаходження коефіцієнтів праву частину зводять до загального знаменника і порівнюють чисельники дробів у лівій і правій частинах одержаної рівності, потім комбінують методи:
1) підставляють ліворуч і праворуч одні і ті ж числа (зазвичай корені знаменника);
2) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях ліворуч і праворуч рівності і розв’язують отриману систему.
Формули скороченого множення і ділення:
Формула бінома Ньютона:
де – біноміальні коефіцієнти, які знаходяться в –му рядку «трикутника Паскаля».
Алгоритм побудови «трикутника Паскаля» (табл. 1.1): кожний елемент наступного рядка, окрім його крайніх елементів, дорівнює сумі двох сусідніх з ним елементів попереднього рядка; крайні елементи кожного рядка є одиниці.
Таблиця 1.1
| Номер рядка | Біноміальні коефіцієнти |
| 1 1 | |
| 1 2 1 | |
| 1 3 3 1 | |
| 1 4 6 4 1 | |
| 1 5 10 10 5 1 | |
| 1 6 15 20 15 6 1 |
Приклад 1. 7. Знайти
Розв’язання. Коефіцієнти беремо з 5-го рядка, знаки “ ”, “–” чергуємо: .
Формула виділення повного квадрата:
Приклад 1.8. Спростити
Розв’язання. ОДЗ:
якщо
Приклад 1.9. Спростити вираз