Наведемо означення тригонометричних функцій числового аргументу.
Синусом числа ( ) називається ордината точки C, яка утворюється в результаті повороту радіус-вектора = {0,1} на кут радіан. Якщо , то поворот здійснюється проти ходу годинникової стрілки і вважається додатним, а якщо , то поворот – від’ємний і здійснюється за ходом годинникової стрілки.
Косинусом числа ( ) називається абсциса точки С.
Тангенсомчисла ( ) називається ордината точки В, яка розташована на перетині продовження радіус-вектора з віссю тангенсів (пряма, проведена через точку А(1,0) перпендикулярно до осі ОХ).
Котангенсомчисла ( ) називається Рис. 2.1
абсциса точки К, яка лежить на перетині продовження радіус-вектора з віссю котангенсів (пряма, проведена через точку М(0,1) перпендикулярно до осі ОY).
Іноді використовуються ще дві тригогонометричні функції, а саме секанс числа ( ) і косеканс числа ( ). Ці функції вводяться таким чином:
, .
Між тригонометричними функціями кута існують прості співвідношення:
; , ;
, ; , ;
, ; , .
набуває додатних значень у першій ( ) та другій ( ) чвертях і від’ємних – у третій ( ) та четвертій ( ); набуває додатних значень у першій та четвертій чвертях і від’ємних – у другій та третій; і – додатних у першій та третій чвертях і від’ємних – у другій та четвертій (рис. 2.2).
Згідно з означенням тригонометричних функцій мають місце такі формули:
, , ,
, ,
Рис. 2.2
для будь-якого значення і
, , ,
для будь-якого допустимого значення .
Табличні значення тригонометричних функцій гострих кутів наведено в табл. 2.1.
Таблиця 2.1
Функція | Кут : радіани (градуси) | ||||
– | |||||
– |
Приклад 2.1. Визначити знаки таких виразів: а) б)
в) де .
Розв’язання: а) кут належить другій чверті, тому ; б) кут належить першій чверті, тому ; в) значення кута не перевищує , тому вираз належить другій чверті. Синус і косинус кутів другої чверті мають різні знаки, тому .
Приклад 2.2. Обчислити
Розв’язання. Аргументи тригонометричних функції – табличні. Значення тригонометричних функцій від цих аргументів – відомі, а саме:
Тому
Приклад 2.3. Обчислити , якщо і .
Розв’язання. Оскільки , то або Оскільки , то
Завдання для самостійної роботи
2.01.Побудувати кут: 1) синус якого дорівнює: a) b) c) 2) косинус якого дорівнює: a) b) c) 3) тангенс якого дорівнює: a) b) c) котангенс якого дорівнює: a) b) c) .
2.02. Визначити знаки таких виразів: а) b) c)
d) e) , де f) , де
g) h)
2.03.Обчислити: а) b)
c) d)
e) f)
2.04. Для яких чвертей проміжку виконуються нерівності: а)
b) c) d)
2.05. До яких чвертей належить кут, якщо: а) ; b) ; c)
d)
2.06. Чи існує таке значення щоб: а)
b) c) d)
2.07. Обчислити , , , якщо: а) і b) і