У процесі перетворення тригонометричних виразів широко застосовуються такі формули.
1. Формули додавання:
.
2. Формули кратних аргументів:
3. Формули половинного аргументу:
4. Формули перетворення суми і різниці в добуток:
5. Формули перетворення добутку в суму і різницю:
6. Співвідношення між , , :
.
Також мають місце формули зведення. Формули зведення перетворюють тригонометричні функції від аргументів до функцій з аргументом .
Для зручності у користуванні формулами зведення використовують такі правила:
а) кут завжди вважається гострим;
б) ціле число періодів завжди можна відкинути;
в) якщо кут відкладається від горизонтального діаметра , то назва функції зберігається; якщо кут відкладається від вертикального діаметра , то назва функції змінюється (синус – на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс).
Приклад 2.4. Спростити вираз .
Розв’язання. Для отримання розв’язку скористаємося формулами зведення (див. табл. 2.1) та властивостями парності й непарності тригонометричних функцій. Маємо
.
Приклад 2.5. Обчислити число .
Розв’язання. Для отримання розв’язку скористаємося формулами зведення (див. табл. 2.1) та формулами додавання. Маємо
Приклад 2.6. Обчислити якщо і .
Розв’язання. Скористаємося формулами і візьмемо . Маємо , і задача зводиться до обчислення . Проведемо ці обчислення:
; оскільки , то і тому . Значить, . Таким чином, . Кут , тому і
Приклад 2.7. Обчислити , якщо .
Розв’язання. Скористаємося формулою перетворення добутку тригонометричних функцій в суму і формулою подвійного аргументу для . Маємо
Приклад 2.8. Довести рівність .
Розв’язання. Скористаємося формулами для перетворення суми і різниці синусів у добуток, а також формулами подвійного аргументу для і . Маємо
Приклад 2.9. Обчислити
Розв’язання. Скористаємося формулою для синуса суми двох аргументів і табличними значеннями тригонометричних функцій. Маємо
Приклад 2.10. Довести тотожність
Розв’язання. У лівій частині наведеної рівності виділимо повний куб і квадрат. Маємо
Приклад 2.11. Довести тотожність .
Розв’язання. До лівої частини рівності застосуємо формулу різниці квадратів, а до правої – формулу косинуса різниці двох аргументів. Маємо
.
Ліву та праву частини запропонованої рівності зведено до однакового вигляду, тому вони рівні.
Приклад 2.12. Довести тотожність .