У перетвореннях тригонометричних виразів застосовувалися формули подвійного аргументу для і . Слід звернути увагу на те, що наведені дії можливі лише тоді, коли тобто , або .
Приклад 2.13. Довести тотожність .
Розв’язання. Розкладемо на множники ліву частину рівності та застосуємо формули тангенса суми і різниці двох аргументів. Маємо
.
Доведена тотожність виконується, якщо , тобто .
Приклад 2.14. Довести числову рівність .
Розв’язання. Помножимо та поділимо ліву частину рівності на і скористаємося формулами подвійного аргументу. Маємо
.
Завдання для самостійної роботи
Обчислити значення тригонометричних виразів:
2.08. , якщо . 2.09. , якщо .
2.10. , якщо . 2.11. , якщо і .
Спростити:
2.12. . 2.13. .
2.14. .
2.15. .
2.16. . 2.17. .
Довести тотожності:
2.18. . 2.19. .
2.20. .
2.21. . 2.22. .
2.23. . 2.24. .
2.25. . 2.26. .
З’ясувати, для яких значень мають місце рівності:
2.27. . 2.28. .
У подальшому нам знадобиться означення ще чотирьох функцій числового аргументу.
Нехай число належить проміжку . Арксинусом числа ( ) називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із відрізка , синус якого дорівнює . Таким чином, запис означає, що
Арккосинусом числа ( ) називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із відрізка , косинус якого дорівнює . Отже, запис означає, що
Нехай . Арктангенсом числа називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із інтервалу , тангенс якого дорівнює числу . Аналогічно попереднім записам маємо: означає, що
Арккотангенсом числа називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із інтервалу , котангенс якого дорівнює . Отже, означає, що
Корисною є табл. 2.2 найпростіших значень функцій.
Таблиця 2.2
| Функція | Аргумент | ||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
Зауваження. Позначення функцій пов’язано зі змістом слова « »- «арка», або «дуга».
Наведемо деякі тотожності, зв’язані із
1) 2)
3) 4)
5) 6) .
Приклад 2.15. Обчислити .
Розв’язання. Треба знайти , якщо відомо, що . Кут розташований у першій чверті і має додатний косинус. Тому .
Приклад 2.16. Обчислити .
Розв’язання. За формулою знайдемо . Важливо зауважити, що за означенням арктангенса цей кут розташований у першій або четвертій чверті і має додатне значення косинуса, тобто .
Приклад 2.17. Обчислити .
Розв’язання. Оскільки За допомогою формул зведення перетворюється на
Аргумент Остаточно
Завдання для самостійної роботи
2.29. Обчислити значення: a) , b) , c) , d) , e) , f) , g) , h) .
2.30. Катети прямокутного трикутника дорівнюють і . Знайти один із його гострих кутів , користуючись по черзі чотирма оберненими тригонометричними функціями.
Спростити вирази:
2.31. а) ; b) ;
c) ; d) ; .
2.32. а) ; b) ; c) .
2.33. а) , b) , c) .
2.34. Обчислити: а) , b) , c) ,
d) , e) , f) , g)
2.35. Довести, що , якщо .