Выборочные среднее и дисперсия

 

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки объема n различны, то

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то

.

Выборочное среднее, найденное по данным одной выборки, равно определенному числу. При извлечении других выборок того же объема выборочное среднее будет меняться от выборки к выборке. То есть выборочное среднее можно рассматривать как случайную величину и говорить о его распределениях (теоретическом и эмпирическом) и о числовых характеристиках этого распределения (например, о математическом ожидании и дисперсии).

Для охарактеризования рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения вводится выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если все значения признака выборки объема n различны, то

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то

.

Аналогично выборочным среднему и дисперсии определяются генеральные среднее и дисперсия, характеризующие генеральную совокупность в целом. Для расчета этих характеристик достаточно в вышеприведенных соотношениях заменить объем выборки n на объем генеральной совокупности N.

Фундаментальное значение для практики имеет нахождение среднего и дисперсии признака генеральной совокупности по соответствующим известным выборочным параметрам. Можно показать, что выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой генерального среднего. В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии оказывается не выборочная дисперсия , а так называемая “исправленная” выборочная дисперсия, равная

.

Таким образом, в качестве оценок генерального среднего и дисперсии в математической статистике принимают выборочнее среднее и исправленную выборочную дисперсию.