Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочному среднему . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью .
Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину (т.к. меняется от выборки к выборке) и выборочные значения - как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно и среднее квадратическое отклонение - s. Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее также распределено нормально. Параметры распределения равны
.
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
,
где - заданная надежность. Используем формулу
.
Заменим X на и s на и получим
где . Выразив из последнего равенства , получим
Так как вероятность P задана и равна , окончательно имеем
.
Таким образом, с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна .
Число определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .
Отметим два момента: 1) при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки приводит к увеличению (так как функция Лапласа возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию , то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.
Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле
,
следующей из равенства .