Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
,
которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. В последнем выражении - - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение, - объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид
,
где некоторая постоянная, выражающаяся через гамма – функции.
Несколько слов о распределении Стьюдента. Пусть - независимые стандартные нормальные величины. Тогда случайная величина
имеет распределение Стьюдента (В. Госсет) с степенями свободы. При росте числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению и уже при использование нормального распределения дает хорошие результаты.
Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров . Поскольку - четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства
определяется следующим образом:
.
Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала
Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр a с надежностью . По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти и используя найденные по выборке и , , можно определить доверительный интервал.
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены генеральное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Решение. Найдем по таблице распределения Стьюдента, используя значения . Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:
То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале
Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.