Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр s с заданной надежностью 
.
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
или 
Преобразуем двойное неравенство 
в равносильное неравенство 
и обозначим d / s = q. Имеем
(A)
и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину
Оказывается, величина 
распределена по закону 
с n – 1 степенями свободы.
Несколько слов о распределении хи-квадрат. Если 
- независимые стандартные нормальные величины, то говорят, что случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с 
степенями свободы.
Плотность распределения c имеет вид
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра s, а зависит только от объема выборки n.
Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид 
. Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е.
.
Предполагая, что q < 1, перепишем (A) в виде
,
далее, умножим все члены неравенства на 
:
или 
.
Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна
.
Из этого уравнения можно по заданным 
найти 
, используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке 
и найдя по таблице , получим искомый интервал (A1), покрывающий s с заданной надежностью .
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s = 0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,95.
Решение. По заданным 
по таблице находим значение q = 0.32. Искомый доверительный интервал есть
.
Мы предполагали, что q < 1. Если это не так, то мы придем к соотношениям
,
и значение q >1 может быть найдено из уравнения
