Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния в состояние . Например, - вероятность перехода за 10 шагов из третьего состояния в шестое. Отметим, что при n = 1 эта вероятность сводится просто к переходной вероятности .
Возникает вопрос, как, зная переходные вероятности , найти вероятности перехода состояния в состояние за n шагов. С этой целью вводится в рассмотрение промежуточное (между и ) состояние r. Другими словами, полагают, что из первоначального состояния за m шагов система перейдет в промежуточное состояние r с вероятностью , после чего за оставшиеся n – m шагов из промежуточного состояния r она перейдет в конечное состояние с вероятностью . Используя формулу полной вероятности, можно показать, что справедлива формула
Эту формулу называют равенством Маркова.
Зная все переходные вероятности , т.е. зная матрицу перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятности перехода из состояние в состояние за два шага, а значит, и саму матрицу перехода , далее – по известной матрице - найти и т.д.
Действительно, полагая в равенстве Маркова n = 2, m = 1 получим
или . В матричном виде это можно записать как .
Полагая n=3, m =2, получим . В общем случае справедливо соотношение
.
Пример. Пусть матрица перехода равна
Требуется найти матрицу перехода
.
Умножая матрицу саму на себя, получим
.
Для практических применений чрезвычайно важным является вопрос о расчете вероятности нахождения системы в том или ином состоянии в конкретный момент времени. Решение этого вопроса требует знания начальных условий, т.е. вероятностей нахождения системы в определенных состояниях в начальный момент времени. Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса
.
Здесь через обозначена вероятность нахождения системы в состоянии в начальный момент времени. В частном случае, если начальное состояние системы в точности известно (например ), то начальная вероятность , а все остальные равны нулю.
Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода, то вероятности состояний системы на n-м шаге вычисляются по рекуррентной формуле
.
Для иллюстрации приведем простой пример. Рассмотрим процесс функционирования некоторой системы (например, прибора). Пусть прибор в течение одних суток может находиться в одном из двух состояний – исправном () и неисправном (). В результате массовых наблюдений за работой прибора составлена следующая матрица перехода
,
где - вероятность того, что прибор останется в исправном состоянии;
- вероятность перехода прибора из исправного в неисправное состояние;
- вероятность перехода прибора из неисправного в исправное состояние;
- вероятность того, что прибор останется в состоянии "неисправен".
Пусть вектор начальных вероятностей состояний прибора задан соотношением
, т.е. (в начальный момент прибор был неисправен). Требуется определить вероятности состояния прибора через трое суток.
Решение: Используя матрицу перехода, определим вероятности состояний после первого шага (после первых суток):
.
Вероятности состояний после второго шага (вторых суток) равны
Наконец, вероятности состояний после третьего шага (третьих суток) равны
.
Таким образом, вероятность того, что прибор будет находиться в исправном состоянии равна 0,819, и того, что в неисправном – соответственно 0,181.