А. Одноканальная модель с отказами

Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

 

, (1)

 

где - интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

где - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний являются простейшими.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную СМО в виде графа (Рис. 1), у которого имеется два состояния: - канал свободен и - канал занят (идет обслуживание заявки).

 

 

Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.

 

Пусть и - вероятности того, что канал свободен и занят соответственно. Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова

 

. (3)

 

Эта система имеет решение с учетом условия нормировки . Решение называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от времени:

 

 

Для одноканальной СМО с отказами вероятность представляет собой относительную пропускную способность системы . Действительно, - вероятность того, что в момент времени канал свободен и заявка, пришедшая к этому моменту, будет обслужена, и следовательно, среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно :

.

 

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

 

.

 

Абсолютнаяпропускная способность () – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:

 

.

 

Вероятность отказа в обслуживании заявки равна вероятности состояния “канал занят”

 

 

Эта величина представляет собой среднюю долю не обслуженных заявок.

Пример. Одноканальная СМО с отказами представляет собой пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка – автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят – получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживания являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме параметры СМО.

Решение.

1. Интенсивность потока обслуживания

2. Относительная пропускная способность

 

,

что означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывших на пост автомобилей

 

3. Абсолютная пропускная способность т.е. пост способен обслужить в среднем 0,356 автомобилей в час.

4. Вероятность отказа , что означает, что около 65% прибывших на пост автомобилей получат отказ в обслуживании.

5. Так как номинальная пропускная способность системы равна

 

то фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания, в примерно в 1,5 (0,555/0,356) раза меньше номинальной.