Интегрирование иррациональных функций

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции.

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Определение. Рациональной функциейот двух переменных и называется функция, получающаяся из двух переменных и ,и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Пример. Функция является рациональной.

Замечание. Функция является рациональной функцией переменных x и , но является иррациональной, если рассматривать ее как функцию одной переменной x.

I. Интегралы вида , где – рациональная функция, – целые числа вычисляются с помощью подстановки , , где – наименьшее общее кратное чисел (НОК) . Тогда каждая дробная степень выразится через целую степень и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от , то есть .

Пример 1. .

Решение. Имеем =

=

.

Пример 2.Найти .