Пусть {xn} и {yn} произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.
Суммой (разностью) последовательностей {xn} и {yn}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей {xn} и {yn}.
(12).
Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {xn} и {yn}, в случае частного .
Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {xn} на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.
(13).
▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство
(14). ▲
▼ Последовательность {уn} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство
|yn|>M (15). ▲
Пример. уn=( –1)n – 1n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M|, |yn|>M при nN.
▼ Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство
(16). ▲