Функция, её простейшие свойства

1. Кривая пересекается прямой х =а в двух точках. Может ли она являться графиком некоторой функции?

2. Может ли график функции быть симметричным:

а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат?

3. Является ли графиком какой-либо функции множество точек координатной плоскости, изображённое на рис.2.

а) б)

в) г)

рис.2

 

4. Какие из функций, графики которых изображены на рис.3: а) имеют обратную; б) являются монотонными; в) являются возрастающими; г) являются убывающими?

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

рис.3

 

5. Можно ли утверждать, что функция y=tg x возрастает в своей области определения?

6. Укажите, какие из следующих утверждений верны:

а) сумма возрастающих функций есть функция возрастающая;

б) разность возрастающих функций есть функция возрастающая;

в) произведение двух возрастающих функций есть функция возрастающая;

г) всякая монотонная функция имеет обратную;

д) всякая убывающая функция имеет обратную;

е) если функция имеет обратную, то она или возрастает, или убывает;

ж) функция y = tg x имеет обратную;

з) функция y = log_a x имеет обратную;

и) если функция возрастает, то и обратная к ней функция возрастает?

7. Функция возрастает на каждом из промежутков:

а) [ –1; 0) и [0; 1]; б) [ –1; 0] и [0; 1]. Обязательно ли она возрастает на отрезке [ –1; 1]?

8. Пусть y =f (x) — возрастающая функция и . Будет ли возрастающей функция: а) , k>0;

б) , k<0; в) y = f (x)+a; г) y = a – f(x); д) ?

9. Какие из функций, графики, которых изображены на рис.3, являются чётными, нечетными?

10. Областью определения чётной функции является промежуток [a; b]. Что можно сказать о числах а и b?

11. Известно, что функция y = f (x) нечётная и точка х =0 принадлежит её области определения. Чему равно значение функции в этой точке?

12. Существует ли нечётная функция, принимающая только положительные значения?

13. Существуют ли функции, являющиеся одновременно и чётными и нечётными?

14. Верно ли утверждение:

а) сумма и разность чётных функций есть функция чётная;

б) произведение и частное чётных функций есть функция чётная;

в) сумма нечётных функций есть функция нечётная;

г) произведение нечётных функций есть функция нечётная;

д) сумма чётной и нечётной функций есть чётная?

15. Можно ли подобрать коэффициенты а, b, c, d так, чтобы функция f (x) = a x³ + b x² + c x + d была:

а) чётной; б) нечётной; в) и чётной и нечётной; г) возрастающей; д) убывающей?

16. Может ли возрастающая функция быть: а) чётной; б) нечётной; в) периодической?

17. Может ли чётная функция иметь обратную?

18. Функция y = f (x) имеет наименьший положительный период Т. Какой наименьший положительный период имеет функция: а) y = f (x+a); б) y = f (w x), ; в) y = k f (x), ; г) y = f (x)+a?

19. Имеет ли функции наименьший положительный период, если имеет, чему он равен: а) ; б) у = 2; в) y = cos x; г) .

20. Может ли сумма периодических функций быть функцией непериодической?

 

Предел и непрерывность функции в точке

1. На рис.4 изображён график функции y = f (x),

рис.4

 

а) имеет ли эта функция точки разрыва?

б) чему равны значения функции в тех точках разрыва, где она определена?

в) имеет ли функция предел в каждой из точек разрыва?

г) какие условия непрерывности нарушены в точке разрыва?

2. Пусть х₀ — точка разрыва функции y = f (x). Следует ли отсюда, что:

а) точка х₀ не входит в область определения y = f (x);

б) не существует ?

3. Существует ли функция, которая в точке х₀: а) имеет предел, но не определена; б) определена, но не имеет предел; в) определена, имеет предел, но разрывна?

4. Функция y = f (x) непрерывна в точке х₀. Можно ли утверждать, что в этой точке непрерывна функция: а) y = f ²(x); б) ; в) ; г) y = k f (x)?

5. Сколько разрывов имеет функция: а) ; б) ; в) г)

6. При каком значении а функция

будет всюду непрерывной?

7. Функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) f (b)<0. Следует ли отсюда, что уравнение f (x)=0: а) имеет корень на [a; b]; б) имеет единственный корень на [a; b]?

8. Функция не обращается в нуль в своей области определения. Следует ли отсюда, что функция имеет один и тот же знак при всех х из области определения?