Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:
1. Выделите параметры а и b в алгебраической форме .
2. Найдите модуль комплексного числа r по формуле: .
3. Для нахождения аргумента φ выполните вспомогательный чертеж и определите четверть, в которой расположен вектор (а, следовательно, и угол φ).
4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол φ, воспользуйтесь одной из следующих формул:
если четверти, то ;
если четверти, то ;
если четверти, то ;
если четверти, то .
5. Подставьте найденные значения r и φ в тригонометрическую и показательную формы.
Пример 3. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.
| х |
| ух |
| -6 |
| 0bаух |
| Рис. 1. |
2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .
3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси Ох угол , следовательно, без применения дополнительных формул делаем вывод, что .
4. Так как r = 6, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .
Ответ: , .
Пример 4. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.
| х |
| ух |
| 0bаух |
| Рис. 2. |
2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .
3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол φ) расположен во второй четверти.
4. Воспользуемся формулой: если четверти, то .
Тогда = = = .
5. Так как r = 2, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .
Ответ: , .
Список литературы:
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.187 - 188.