Задачи, приводящие к ДУ.

Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N₀ бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий в течение времени.

Решение. N(t) – кол-во размнож-ся бактерий с течением времени t. N(0)=N₀. Будем считать, что N(t) измеряется во времени, непрер. диф-ма. Тогда скорость размножения это = kN(t) (1). Коэф. k зависит от выбора бактерий и условий, в кот. они находятся.

Найти решение N = N(t) ур-ня (1) для кот. N(0)=N₀.

N(t) > 0 = kdt => d lnN(t) = kdt => lnN(t) = kt + C₁ , где C₁ - const, C₁ = ln C, C > 0 =>

N(t) = Ce^kt . t=0 N(0)=N₀ => C = N(0)=N₀. N(t) = N₀e^kt.

Т.е. численность бактерий возрастает по экспоненциальному закону.

Ур-ие (1) описывает различные процессы и зависимости между величинами. Решением (1) явл. ф-ции вида N(t) = Ce^kt, где С – произв. число.

Док-ем, что ур-ие вида = ky (2) имеет решение только такого вида y = Ce^kx и др. нет.

Рассмотрим ф-цию y=ϕ(x) и пусть оно некоторое решение (2). Далее рассмотрим ф-цию Ф(х) = ϕ(x)∙e^-kx и найдём её производную: = ∙ e^-kx + ϕ(х)∙(-k)e^-kx = e^-kx (- k∙ϕ(х)). Т.к. ϕ(х) явл. решением (2), то выражение в скобках равно 0, т.е. = 0 => Ф(х) = С – const.

Получаем С = ϕ(х)∙e^-kx => ϕ(х) = C∙e^kx .

Мн-во решений обладает св-вом: графики ф-ций у = C∙e^kx со всевозможными числовыми знач. С покрывают всю плоскость, причём через каждую точку пл-сти проходит график единств. такой ф-ции.

Выделим из этих решений решение проходящее через точку (х₀,у₀). Для определения С получим уравнение: у₀ = С∙, которое имеет единственное решение С = у₀, частное решение: у = у₀∙.

 

3.ДУ 1-го порядка: формы записи решения и ннтегралы, геометрическая интерпретация частного и общего решений.

Общий вид ДУ 1-ого порядка F(x, y, y') (1). Частное уравнение = f(x,y) (2), где действит. ф-ция f(x,y) задана в некоторой обл. D. (2) наз. уравнением разрешённым относительно производной. На виду с (2) всегда будем рассматр. = (2'). Использ. последнее в окрестности тех точек, где ф-ция f(x,y) обращается в .

Вместо (2) и (2') целесообр. рассматр. ур-ие dy – f(x,y)dx = 0 (3). Обе перемен. х и у входят в это ур-ие равноправно и любую из них можно рассматр. как независимую перемен. Умножив обе части ур-ия (3) на некот. ф-цию N(x,y) получим ур-ие: М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (4), где M(x,y) = -f(x,y)∙N(x,y). = - и = - . Симметричная форма: = .

Рассм. ур-ие = f(x) (5). В этом случаи, если f(x) определена и непрер. на промежутке I, то каждая первообразная ф-ции f(x) на I явл. решением (5). Из матем. анализа известно, что х ϵ I все первообразные содерж. в формуле у(х) = (6). Если в (6) заместо запишем , то решение (5) м.б. записано в виде у(х) = (7). Решение ур-ия (5) имеет вид у = ϕ(х, С) (8) - общее решение.

Опр.Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (2) в обл. D(обл. в которой (2) имеет единств. решение), если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Суть опр. состоит в след.: пусть дано семейство кривых F располож. в D и зависящих от одного параметра С. Если про каждую кривую из F известно, что она явл. интегральной кривой ур-ия (1) и все кривые из F в их совокупности покрывают D, то F – общее решение (1) в обл. D.

В дальнейшем покажим, что (2) при достаточно общих условиях , их бесконечное мн-во, а именно семейство у = ϕ(х).

Решение, кот. получается из общего решения при конкретном С наз. частным решением.

Решение, кот. нельзя получить из общего решения при конкретном С наз. особым решением.

Соотношение вида Ф(х,у,С) = 0, кот. неявно определяет общее решение наз. общим интеграллом ДУ.

Если требуется найти решение, кот. удовл. дополнительным условиям, то такая формулировка задачи носит название задача Коши: (1)имеет единств. решение.

Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (1) в обл. D, если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Опр. Если решение ур-ия (1) состоит только из точек единств. решения задачи Коши для этого ур-ия, то оно наз. частным решением.

Опр. Соотношение Ф(х,у,С) = 0 наз. общим интеграллом (1) в D, если оно определяет общее решение у = ϕ(х,С) ур-ия (1).

Опр. Решение в параметрической форме , зависящ. от произв. const C, наз. общим решением в параметр. форме.

Опр. Особым решением (1) наз. такое решение, в каждой точке кот. нарушена единств. задачи Коши.

Опр. Кривая, кот. в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства решений Ф(х,у,С) = 0 и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства наз. огибающей кривой.

Огибающее семейство ур-ия (2) представляет собой особое решение этого ур-ия.

Опр. Точка (х,у)ϵD наз. точкой -ия ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если через неё проходит хотя бы одно решениеэтого ур-ия.

Опр.Точка -ия (х,у)ϵD, обладающая окрестностью внутри кот. все решения ур-ия, проход. через эту точку совпадают наз. точкой единствен.

Опр. Точка -ия (х,у)ϵD через кот. проход. 2 решения с одной касат. и различ. в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки наз. точкой ветвления. Решение этого ур-ия, график кот. состоит из точек ветвления наз. особым решением.

Теор. Пикара Пусть дано уравнение = f(x,y) (1)и начальные условия у = у₀, х = х₀. Если ф-ция f(x,y) удовл. 2-м усл.: 1) непрер. по обеим перемен. в замкнут. обл. D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M. 2) f(x,y) в обл. D удовл. условию Липшица по перемен. у : |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица. Тогда ! решение у(х) удовл. начальному условию у(х₀) = у₀ (2), определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.