Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

1.Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах.

Пусть ф-ция F – ф-ция (n+2) переменных. Надо найти ф-цию у(х), удовл. на некот. промежутке I ур-ию F(x, y(x), y'(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0. (1)

Опр. Обыкновенным ДУ наз. соотношение вида F(x, y(x), y'(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0, где F – известная ф-ция, х – независимая перемен., у(х) – неизв. ф-ция.

Опр. Порядком ДУ наз. порядок старшей производной неизв. ф-ции у = у(х), вход. в уравнение.

Опр. Ф-ция у(х) наз. решением ДУ, если она n раз непрер. диф-ма на некотором промежутке I и если хϵI, то ф-ция у(х) удовл. ур-нию (1).

Опр. График решения ДУ наз. интегральной кривой этого ур-ия.

Опр. Процесс нахождения решения ДУ наз. интегрированием ДУ.

Пр. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положит. направлением оси Ох равен абсциссе в точке касания.

= x

dy = xdx

dy = d => y = + C, C ϵ R.

Зам. Когда задачу нахождения всех решений ДУ удаётся свести к вычислению конечного числа интеграллов, производных от известных ф-ций, а также алгебраических операций над ними, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах.

 

Задачи, приводящие к ДУ.

Решение. N(t) – кол-во размнож-ся бактерий с течением времени t. N(0)=N0. Будем считать, что N(t) измеряется во времени, непрер. диф-ма. Тогда… Найти решение N = N(t) ур-ня (1) для кот. N(0)=N0. N(t) > 0 = kdt => d lnN(t) = kdt => lnN(t) = kt + C1 , где C1 - const, C1 = ln C, C > 0 =>

ДУ с разделяющимися переменными.

Условие Эйлера всегда выполн. для ДУ вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где М(х,у) и N(x,y) – непрер. дифференцируемые ф-ции на некот. пром-ке. Общий интеграл этого ур-ия имеет вид: (2), где (х,у)ϵD. В силу непрер. ф-ций М(х,у) и N(x,y) использ. ф-лы связи неопредел. и определ. интеграла, общий вид (1) можно записать так: (3). (1) – ур-ие с разделёнными переменными.

Часто ур-ия, для кот. усл. Эйлера не выполн. легко приводится к ур-ию в полных диф-лахпутём умножения ур-ия на спец. ф-цию наз. интегрируещим множителем. Его можно легко найти для ур-ия М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если ф-ции М(х,у) и N(x,y) удовл. условию: и (4). (5).Домножим (5) на.Ур-ие вида (5) наз. ур-ием с разделяющимися перемен. (6) – ур-ие с разделёнными переменными. Общий интеграл (6) имеет вид: .

Зам. ДУ (*) также наз. ур-ем с раздел. перемен. Это частный сл. ур-ия вида (5). ДУ м.б. привидено к виду (*). можно разл. след. сл.: 1) b=0, - это ур-ие разреш. непосредств. интегриров.; 2) а=0, - это частный сл. ур-ия с раздел. перемен.; 3) а∙b≠0, в этом сл. делается замена u=ax+by+c, где u – новая неизв. ф-ция. => и подставляем в ур-ие. Получ. ур-ие вида: - частный сл. ДУ с раздел. перемен.

 

ДУ в полных дифференциалах.

Ур-ие (1) наз. ур-ие полных диф-лов, если его левая часть есть полный диф-л некот. ф-ции U(x,y), т.е. dU(x,y) = М(х,у)dx + N(x,y)dy. Тогда (1) можно… Теор.(признак ур-ия полного диф-ла и построение его общего решения) Если ф-ции… ► =>) Пусть левая часть (1) явл. полным диф-лом некот. ф-ции U(x,y), а это значит dU = М(х,у)dx + N(x,y)dy. С…

Однородные ДУ 1-го порядка.

Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если t имеет место равенство: f(tx, ty) = tm∙ f(x,y) (2). Положим в (2) t = , тогда f(1, ) = ∙ f(x,y). f(x,y) = xm ∙ f(1, )… Опр. ДУ (1) наз. однородным, если М(х,у) и N(x,y) однородные ф-ции одной и той же степени m.

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.

Будем считать ф-ции p(x), g(x) непрер. на некотором промежутке I. Из теор. Пикара => (2) имеет единств. решение у = у(х) удовл. начальным усл.… Покажим, что (2) всегда интегр. в квадратурах, р(х) – непрер. ф-ция. у'+р(х)у… Решение у=0 содержится в общем решении при С=0.

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.

Введём новую переменную: у = z+y1 (7) и подставим её в (2): z'+y1'+p(x)z+p(x)y1=g(x). z1+p(x)z=0 (8) –линейное однородное ур-ие, левая часть кот.… Теор. Если у1 есть частное решение неоднор. линейного ур-ия (2), то общее… Метод Лагранжа. Будем искать решение ур-ия (2) в том же виде, что и общее решение (4) соотв. однородного ур-ия, но…

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.

Метод Бернулли. Будем искать общее решение линейного неоднород. ДУ в виде произвольных 2-х ф-ций, одна из кот. определена произвольно, а вторая в… ДУ Бернулли. , где αϵR.

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.

Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением… 1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из… 2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.

Геом. смысл. Всякому реш-ю (4) ДУ (1) соотв-ет на пл-ти ХУ соотв-я некоторая кривая, кот наз интегральной кривой. Подобно тому, как ур-е 1-го… Всякое ур-е 2-го порядка (5)можно переписать в виде: (6) харак-ет кривизну.

ДУ, допускающие понижение порядка.

1) у⁽ⁿ⁾ = f(x).

2)

3) F(x, y^(k), y^(k+1), …, y⁽ⁿ⁾) = 0 (1 ≤ k < n)

Линейные ДУ n-го порядка. Основные понятия, св-ва решений линейных однородных ДУ.

(1) –линейное ДУ n-ого порядка. Предположим, что коэф. p₀(x), …, p_n-1(x) и функция f(x) – непрер. ф-ции на некотором промежутке I = [a,b]. Имеет место теорема.

Теор.Если ф-ция f(x), р_i(x), i = {0,…,n-1} непрер. на промежутке I = [a,b], тогда для любых начальных условий y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y₀' , y^(n-1)(x₀) = y₀^(n-1) (2), x₀ ϵ [a,b] существует единственное решение задачи Коши (1) с условиями (2). Построить эти решения можно например методом Пикара.

Зам. Особых решений ДУ (1) не имеет.

Введём обознач.: рассмотрим линейный дифференц. оператор . Этот оператор обладает след. св-вами:

1. постоянный множитель можно выносить за знак оператора, т.е. L[Cy] = CL[y];

2. оператор от суммы 2-х ф-ций равен сумме операторов от этих ф-ций, т.е. L[y₁+y₂] = L[y₁]+L[y₂];

3. из св-в 1,2 => (3).

Уравнение (1) в этом случаи можно записать: L[y] = f(x) (4) –линейное неоднор. ДУ. Если f(x) = 0, то (4) имеет вид L[y] = 0 (5) – линейное однородное ДУ.

Ф-ция y = ϕ(x) явл. решением (4) на [a,b], если L[ϕ(x)]f(x). Ф-ция y = ϕ(x) явл. решением (5) на [a,b], если L[ϕ(x)]0.

Стр-ра решений линейного однородного ДУ (ЛОДУ).

Св-ва ЛОДУ: 1. Если у₁ – решение ЛОДУ, т.е. L[y₁] = 0, то ф-ция у = Су₁ тоже явл. решением ЛОДУ (С - константа). ►Из св-ва однородности линейного оператора◄

2. Если у₁ и у₂ – решения ЛОДУ, то их сумма тоже явл. решением этого ур-ия. ►Из св-ва аддитивности линейного оператора◄

3. Если у₁, у₂, ..., у_m – решения ЛОДУ, то и линейная комбинация у = С₁у₁ + С₂у₂ + ...+С_mу_m тоже явл. решением ЛОДУ (С_i – произв. константы) ►Из св-в 1 и 2◄

 

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.

Теор.(необх. усл. линейной зав-сти ф-ций)Если ф-ции у1(х), у2(х), ..., уm(x) л.з. на [a,b] и имеют производные до порядка (n-1) включительно, то… ►В силу теоремы: α1у1(х) + ...+ αmуm(x) = 0, где хϵ[a,b]… Сл-вие.Если W(x) ≠ 0 хотя бы в одной точки [a,b], тогда ф-ции у1(х), у2(х), ..., уm(x) л.н. на [a,b]. ►Из…

Структура решений линейных однородных и неоднородных ДУ n-го порядка.

ДУ наз линейным ДУ п-го порядка.

Рассм линейный диф-ый оператор . Этот оператор обладает след св-ми:1) постоянный множитель можно вынести за знак оператора. 2) Оператор от суммы 2-х ф-й равен сумме опер от этих ф-й. 3)(3)

- ЛНДУ

- ЛОДУ

Ф-я явл-ся реш-ем ЛНДУ на , если оператор .

Ф-я явл-ся реш-ем ЛОДУ, если

ЛОДУ

Опр. Совокупность п-реш-й ЛОДУ (1), опр-ых и л.н на , наз ФСР на .

Для того чтобы с-ма п-реш-ий была фундаментальной необх и дост, чтобы этих реш-ий хотя бы в одной точке промежутка непр-ти коэф ур-я (1)

Теор. Если коэф ур-я (1) непр-ны на , то сущ-ет ФСР, опр-ных на .

►Пусть . Решения ур-я (1)сущ-ют по т-ме Пикара. Построим это реш-е. Пусть -реш-е, удовл след нач усл-ям :

……………….

 

зн, - л.н,т.е обр-ют ФС. ◄

Теор. Если - ФСР ур-я (1) с непр. Коэф, ф-ла (2), где С-константы,дает общее реш-е ур-я (1) в области задания ур-я (1)

►В силу т-мы Пикара и св-в линейного оператора у(х), опр-мая ф-лой (2), явл-ся реш-ем ур-я (1). Это реш-е будет общим , если возможно опр-ть произвольные постоянные Ск. Т.о, чтобы выполнялись произвольно заданные нач усл-я . Пусть удовл этим нач усл-ям. Тогда мы имеем с-му п-линейных ур-ий относительно Ск.

……………..

Неодн с-ма линейных ур-ий относит Ск. явл-ся опр-лем этой с-мы.

В силу т-мы Кронекера-Капели, эта с-ма имеет единств реш-е. .◄

ЛНДУ

Рассм. L[y] = y⁽ⁿ⁾ + p_n-1(x)y^(n-1) + … + p₁(x)y' + p₀(x)y = f(x) (1), где р_k(x), k={1, …, n-1}, f(x) – непрер. ф-ции на некотором промежутке I = [a,b]. Предположим, что у₀(х) – некот. частное решение (1).

Теор.Общее решение ЛНДУ имеет вид (2),где y₀ – некот. частное решение (1), а - общее решение соотв. однородного ур-ия (5). [(5) = L[y] = 0].

►L[y] = L[y₀] + = f(x) + 0 = f(x) => (2) удовл. ур-ию (1). С др. стороны, если у(х) – любое решение ур-ия (1), то L[y - y₀]=L[y] - L[y₀] = f(x) – f(x) = 0 => y-y₀ – решение ЛОДУ. Тогда ƎС_k: y(x) – y₀(x) = => .◄

Теор.Пусть у₁(х) – частное решение уравнения L[y] = f₁(x), у₂(х) – частное решение уравнения L[y] = f₂(x). Тогда у₁(х) + у₂(х) – некоторое частное решение уравнения L[y] = f₁(x) + f₂(x).

►L[y₁+y₂] = L[y₁] + L[y₂] = f₁(x) + f₂(x) – по св-ву линейного оператора.◄

Теор. Если L[y] = U(x) + iV(x), где коэф. p_k(x), k = {0, …, n-1} и ф-ции в U(x) и V(x) действит., имеет решение у(х) = u(x) + iv(x), то действит. часть u(x) и мнимая часть v(x) решения явл. решениями соотв. ур-ий L[y]=U(x), L[y]=V(x).

►Основана линейности оператора L[y].◄

Формула Остроградского-Лиувилля.

►Докажем эту формулу для ДУ 2-го порядка: у'' + р1(х)у'(х) + р0(х) (2). , где у1 и у2 решения ДУ (2). Найдём W'(x): x = x0, C = W(x0)◄

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.

Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) = f(x) (1). Будем искать общее решение неоднородного ДУ в том же виде, что и решение ЛОДУ,… у'(х) = C'1(x)y1(x) + C1(x)y'1(x) + C'2(x)y2(x) + C2(x)y'2(x), где C'1(x)y1(x)… у''(х) = C'1(x)y'1(x) + C1(x)y''1(x) + C'2(x)y'2(x) + C2(x)y''2(x).

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случаи разных действительных корней и кратного действительного корня.

Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэф.

В силу т-мы о стр-ре общего реш-я ЛОДУ задача построения общего реш-я (1) будет решена , если будет построена хотя бы одна ФСР. Далее будет показано, что эта ФСР будет построена из элементарных ф-ий.

Итак, следуя Эйлеру, будем для ЛОДУ n-го порядка искать частн реш-я в виде: (2), где -некоторое постоян число(действит или комплексное).

Подставим (2) в (1):

, (3).

, где (4)

Т.к , то ур-е (1) м.б. записано : (5) -ХУ ур-я (1).

Его корни наз. характ. числа ЛОДУ (1). Ур-е (5) имеет n корней с учетом кратности.

1)Пусть все корни ур-я (5) вещественные и различные

Подставим их поочередно в ф-лу (2), найдем n веществ. частных решений: (6)

Ранее было док-но, что все эти реш-я линейно независимы на , поэтому эти реш-я составляют ФСР. В силу т-мы о стр-ре общего реш-я ЛОДУ ф-ла , где - произв. постоянная, определ. общее реш-е ур-я (1) в обл. .

2)Случай наличия кратных корней ХУ

Пусть - любой k-кратный корень ХУ. Тогда

(10)

, где (11)

Лемма: Если - корень ХУ кратности k, то ф-и - л.н реш-я ур-я (10) на любом промежутке .

► Линейная незав-cть этих ф-ций можно установить след образом: то

-л.н. выполняется т и т.т, когда .

(1)

,

=> - явл. решением линейного оператора, при m={0,k-1}.◄

Эти решения л.н. на R. Если при этом λ₁ – корень веществ., то эти решения тоже веществ. Т.обр. всякому λ₁ϵR k-кратности соответствует k л.н. R решений вида .

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.

В силу т-мы о стр-ре общего реш-я ЛОДУ задача построения общего реш-я (1) будет решена , если будет построена хотя бы одна ФСР. Далее будет… Итак, следуя Эйлеру, будем для ЛОДУ n-го порядка искать частн реш-я в виде:… Подставим (2) в (1):

Линейные неоднородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Специальная правая часть как произведение многочлена и экспоненты.

(1),где -постоянные действительные числа, i=0,n-1,f(x)-непрерывная на некотором промужутке.

Построим ФСР соответствующего ДУ можно решение ур-я (1),следуя методу Лагранжа,найти в квадратурах.

Для некоторых частных видов f(x) удаётся найти частное рещение (1)без квадратур.

В силу т.о структуре решения ЛНДУ нам нужно найти к-либо частное решение этого уравнения и сложив егос общим решением ОДУ,получим общее решение (1).

Нахождение частного решения ЛНДУ методом неопредел коэ-в

Пусть в ур-и (1) правая часть – это произведение палинома на показательную функцию.(2)

- палином с веществен. Или комплексню коэф.,альфа-число из R,альфа >=0

Рассмотрим ЛНДУ 2-ого порядка:

Пусть правая часть имеет вид:

Частное решение уравнения (4) в этом случае будем искать в виде (5)- многочлен степени mс неопределёнными коэф-и

Продиффиренцируем дваджы.Затем подставим в (4):

так как - частное решение уравнения (4) с правой частью вида (2),то должно получиться тождество: +

(6):

Запишем тоджество в след виде: ()+()+()=

= (8)

+
……………….

1 случай. Пусть α не является корнем ХУ,тогда . Из 1-ого ур-я сис-мы 8 находим ,из второго и т.д.

Определив все коэ-ты в, однозначно определим частное решение ур-я (4).

2 случай. Пусть α – однкратный корень ХУ.

Тогда решение будем искать в виде: (9).Так как из (6) видно,что слева,в сучау кратности,стоит многочлен степени на 1 меньше,чем справа,сто невозможно.

Подставим 9 в 4.

Подставим в 4: (10)

Подставим в (10) полиномы (3)и(5), прировняем коэф-ты при одинаковых степенях,получим:

=и т.д

3 случай. α-двукратный корень ХУ. Это значит, =0. , тогда частное решение . В противном случае, многочлен, стоящий справа,был бы многочлен степени меньшей m,что противоречит условию. Коэф-ты определяются методом неопределённых коэф-ов.

Линейные неоднородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Специальная правая часть как произведение экспоненты и выражения с синусом и косинусом.

(1),где -постоянные действительные числа, i=0,n-1

f(x)-непрерывная на некотором промужутке.

Построим ФСР соответствующего ДУ можно решение ур-я (1),следуя методу Лагранжа,найти в квадратурах.

Для некоторых частных видов f(x) удаётся найти частное рещение (1)без квадратур.

В силу т.О структуре решения ЛНДУ нам нужно найти к-либо частное решение этого уравнения и сложив егос общим решением ОДУ,получим общее решение (1).

Пусть правая часть уравнения имеет вид: *,хотя бы 1 из них имеет степень =m .Заменяя ,по формуле Эйлера: =

Равенство * можно переписать: ==,причём собирая коэ-ты при aльфа и бета==

представляет собой сумму двух слога емых рассмотренного вида,т.е имеет место 2 случая:

1 случай: альфа и бета таковы,что число не явл корнем ХУ,тогда частное решение будем искать в виде : (**)

,- полиномы к-ой степени с неопределенными коэ-ми

Если явл. S- кратным корнем ХУ, то частое решение найдётся в видеL (***):, где с-кратность корня.

Приведя (**) и (***) к вещественному виду, получим след правило нахождения частного решения уравнения (1), когда правая часть имеет вид (*)

1) В 1 случае, если не явл. Корнем ХУ, то часное решение найдётся в виде:

2) если явл. S-кратным корнем ХУ, если , то часное решение найдётся в виде: ,где P,Q - палиномы с неопределёнными коэф.

В обоих случаях определяются подстановкой в (1).

Приложение ДУ в физике. Свободные колебания в среде без сопротивления.

 

Приложение ДУ в физике. Свободные колебания в среде с сопротивлением.

 

 

Приложение ДУ в физике. Вынужденные колебания в среде без сопротивления.

 

 

Приложение ДУ в физике. Вынужденные колебания в среде с сопротивления.

 

Введение элементарных ф-ций с помощью ДУ. Показательная ф-ция (экспонента).

 

29.Введение элементарных ф-ций с помощью ДУ. Тригонометрические ф-ции.

НЕТ В БИЛЕТАХ!!!!УРААААА!!!

Условия Липшица. Теорема Пикара (формулировка).

Условие Липшица

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в прямоугольнике К: .

Опр.Если для любого и любых двух значений и переменной :

, существует такое, не зависящее от х число , что выполнено неравенство: (*), то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Зам.1. Если в области К имеет непрерывную частную производную , то всегда найдется такое L, что условие (*) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа (**), – лежит между и .

В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять .

2. Условие Липшица (*) более слабое, чем существование частной производной , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.

Теор. Пикара Пусть дано уравнение = f(x,y) (1)и начальные условия у = у₀, х = х₀. Если ф-ция f(x,y) удовл. 2-м усл.: 1) непрер. по обеим перемен. в замкнут. обл. D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M. 2) f(x,y) в обл. D удовл. условию Липшица по перемен. у : |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица. Тогда ! решение у(х) удовл. начальному условию у(х₀) = у₀ (2), определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые… 2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х',…

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые… 2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х',…

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые… 2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х',…

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.

Теор. Стефана Банаха.Если - сжимающее, то сущ-т единств. точка , для которой .Точка х0- наз. неподвижной точкой сжимающего отображения f. Теор. Пикара.Пусть дано ДУ (1) и начальное условие: (2). Если ф-ция удовл-т 2… 1) непрерывна по обеим переменным в замкнутой обл. .

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.

Будем предполагать ф-ции F1,F2,…,Fn такими, что с-ма (1) разрешима относит. производной от искомой ф-ции. (2)– нормальная с-ма ДУ. Число ур-ий вход. в с-му (2) наз. порядком с-мы… Если правые части (2) л.з. от искомых ф-ций у1,у2,...,уn, т.е. с-ма (2) имеет вид: (3)– линейная с-ма ДУ, где рkl(x) –…

С-мы ДУ. Основные понятия. Теорема существования и единственности задачи Коши.

Совокупность соотношений вида: (1),где у₁,у₂,...,у_n – искомые ф-ции от независим. перемен. х наз. с-мой обыкнов. ДУ 1-го порядка.

Будем предполагать ф-ции F₁,F₂,…,F_n такими, что с-ма (1) разрешима относит. производной от искомой ф-ции.

(2)– нормальная с-ма ДУ. Число ур-ий вход. в с-му (2) наз. порядком с-мы (2).

Если правые части (2) л.з. от искомых ф-ций у₁,у₂,...,у_n, т.е. с-ма (2) имеет вид: (3)– линейная с-ма ДУ, где р_kl(x) – заданные ф-ции, k={1,…,n},l={1,…,n}.

Если правые части (2) не зависят явно от х, т.е. (2) имеет вид: (4) – автономная, или стационарная с-ма ДУ.

у₁ = ϕ₁(х), у₂ = ϕ₂(х), ..., у_n = ϕ_n(х) (5) определ. и непрер. дифференц. в интервале [a,b] наз. решением с-мы (1) на [a,b], если оно обращает все ур-ия с-мы (1) в тождетсва.

Задача Коши.

Для с-мы (2) задача Коши ставится след. образом: среди всех решений сис-мы (2) найти такое решение у₁ = у₁(х), у₂ = у₂(х), …, у_n = у_n(х) (8), в кот. ф-ции у₁(х), у₂(х), ..., у_n(х) принимают заданные числовые значения у₁⁽⁰⁾, у₂⁽⁰⁾,..., у_n⁽⁰⁾ при заданном числовом значении х₀, т.е. у₁(х₀) = у₁⁽⁰⁾, у₂(х₀) = у₂⁽⁰⁾, ..., у_n(х₀) = у_n⁽⁰⁾ (9).Числа у₁⁽⁰⁾, у₂⁽⁰⁾,..., у_n⁽⁰⁾ наз. начальными знач. независим. перемен.

Достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши.

Теор.Пусть задана нормальная с-ма (2) и поставлены условия у₁= у₁⁽⁰⁾, у₂= у₂⁽⁰⁾, ..., у_n= у_n⁽⁰⁾ при х = х₀ (10). Пусть ф-ции, стоящие в правых частях с-мы (2) определены в некот. замкнутой, огранич. обл. R: |x-x₀| ≤ a, |у₁- у₁⁽⁰⁾| ≤ b, |у₂- у₂⁽⁰⁾| ≤ b, …, |у_n- у_n⁽⁰⁾| ≤ b c точкой (x₀, у₁⁽⁰⁾, ..., у_n⁽⁰⁾) внутри, где a, b – заданные числа. Ф-ция удовл. тогда условиям:

1) правые части f_i(x, y₁, …,y_n) i = {1, …, n} непрер. по всем своим аргументам, а следовательно огранич. |f_i(x, y₁, …,y_n)| ≤ M, i = {1, …, n}, M – некоторая const, M > 0.

2) ф-ции f_i(x, y₁, …,y_n) имеют огранич. частные производные по аргументам y₁, …,y_n, т.е. , i = {1, …, n}, l = {1, …, n}, k – некоторая положит. const.

Тогда с-ма (2) имеет единств. решение (8), удовл. нач. условиям (10) в интервале |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, }.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.

Опр. Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn), не приводящаяся к постоянной наз. интегралом с-мы (2), если при замене у1, ..., уn любым частным решением этой… Опр.Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn), имеющая непрер. частные производные по (х,… Равенство ψ(х, у1, ..., уn) = С (16), где ψ(х, у1, ..., уn) – интеграл с-мы (2), а С – произвольная…

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.

Будем предполагать ф-ции F1,F2,…,Fn такими, что с-ма (1) разрешима относит. производной от искомой ф-ции. (2)– нормальная с-ма ДУ. Число ур-ий вход. в с-му (2) наз. порядком с-мы… Если правые части (2) л.з. от искомых ф-ций у1,у2,...,уn, т.е. с-ма (2) имеет вид: (3)– линейная с-ма ДУ, где рkl(x) –…

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.

, , или (1'') Коэфф - постоян действ числа, -непр ф-и на . Применяя общую теорию лин с-м,… Рассм соотв однородную с-му: (2)

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.

Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(n-1)). Обозначим искомую ф-цию у = у1. И введём в рассмотрение новые ф-ции у2, у3,… 2)Приведение норм. с-мы n ур-ий к одному ур-ию n-ого порядка.