Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.

Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэф.

В силу т-мы о стр-ре общего реш-я ЛОДУ задача построения общего реш-я (1) будет решена , если будет построена хотя бы одна ФСР. Далее будет показано, что эта ФСР будет построена из элементарных ф-ий.

Итак, следуя Эйлеру, будем для ЛОДУ n-го порядка искать частн реш-я в виде: (2), где -некоторое постоян число(действит или комплексное).

Подставим (2) в (1):

, (3).

, где (4)

Т.к , то ур-е (1) м.б. записано : (5) -ХУ ур-я (1).

Его корни наз. характ. числа ЛОДУ (1). Ур-е (5) имеет n корней с учетом кратности.

1) Пусть все корни ур-я различны, но среди них имеются комплексные.

Пусть - компл корень ур-я (5)

Т.к, все коэфф ХУ действительные, то оно должно иметь и сопряженный корень

Корню в силу ф-лы (2) будет соответствовать реш-е: (7)

Это реш-е компл, поэтому, поэтому действительная и мнимая часть , т.е , , явл реш-ем ур-я (1). Эти реш-я л.н на всем .

Реш-ю соотв реш-е .

Сопряженный корень не порождает новых л.н решений.

Т.о, если все корни ХУ различны, но среди них есть компл корни, то каждому вещественному корню соотв реш-е вида , а каждой паре комлексно сопряженных корней соотв два веществ л.н корня вида (8). Всего n корней вида (9). Эти корни образуют ФСР, т.к они л.н. в силу т-мы о стр-ре реш-ий ЛОДУ общее реш-е ур-я (1) –это линейная комбинация всех реш-ий вида (9).

Лемма: Если - корень ХУ кратности k, то ф-и - л.н реш-я ур-я (10) на любом промежутке .

► Линейная незав-cть этих ф-ций можно установить след образом: то

-л.н. выполняется т и т.т, когда .

(1)

,

=> - явл. решением линейного оператора, при m={0,k-1}.◄

Если ХУ имеет комплексный корень кратности k, то оно имеет и сопряж. корень той же кратности. Согласно доказаному соответствует решение эти решения комплексны, но действит. и мнимые части также явл. решениями ДУ эти решения л.н. Т. обр. любой паре сопряж. комплексных корней соотв. 2kвеществ. л.н. решения вида последней с-мы.