Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x₀) = y₀ (2)

1) D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ М∣х - х'∣^α, где 0 < α ≤ 1 и М — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х₀) = у₀ ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

1) Сведём док-во Ǝ искомого решения ур-ия (1) к док-ву Ǝ решения эквивал. ему интегр. ур-ия (3). Действительно ДУ (1) с условием (2) эквивалентно ур-ию (3). Покажим это.

Пусть ф-ция у(х) непрер. и явл. решением ур-ия (3), тогда дифференцируя (3) получим: = f(x, y(x)) y(x₀) = y₀. Это значит ф-ция у(х) удовл. (1) с усл. (2).

Обратно, пусть у(х) явл. решением (1): = f(t, y(t)) x₀≤ t ≤ x y(x₀) = y₀. Тогда интеграл – это тождество в пределах от х₀ до х: = => y(x) – y(x₀) = => . Т.е. у(х) явл. решением (3).

Итак, (3) эквивалентно ДУ (1) с нач. усл. (2).

32.Теорема Пикара (построение последовательности приближённых решений).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x₀) = y₀ (2)

2) |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣^α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Док-во.

2) Докажем существование решения ур-ия (1), применяя метод последовательных приближений Пикара. За исходное нулевое приближение у₀(х) принимаем ф-цию равную тождеств. нач. знач. искомой ф-ции у₀.

Построим пос-сть ф-ций, наз. приближ. р-ниями по правилу: . Т.к. f – известная ф-ция, то у₁(х) вычисл. в квадратурах, т.е. . Т.к. f – известная ф-ция, то у₂(х) также вычисл. в квадратурах и т.д. . Обозначим эти ф-ции (4).

Будем рассматривать ф-ции (4) для всех х, удовл. нер-ву |x-x₀| ≤ h. Тогда относительно ф-ций (4) можно утверждать:

1) ф-ции у_k(x), где k = {1, …, n, …} непрер. Т.к. ф-ция f(x,y(x)) – непрер. по усл. теоремы, а => - непрер. ф-ция верхнего предела.

2) каждая из ф-ций у_k(x), где k = {1, …, n, …} определена при х удовл. н-ву |x-x₀| ≤ h. И график этих ф-ций не выходит из обл. D. Докажем это.

Допустим, что знач. ф-ции у_n_-1(x) при условии что |x-x₀| ≤ h не выходит из обл. D и => |f(t,y_n_-1(t))| ≤ b. Тогда получим для у_n(x) след. оценку:

Отсюда => для любого х, удовл. |x-x₀| ≤ h выполн. |y_n(x)-y₀| ≤ b, т.е. n-ое приближение также не выходит из обл. D.

Т.обр. ММИ док-но, что ни одно из последоват. приближений не выходит из обл. D при условии, что |x-x₀| ≤ h.

33.Теорема Пикара (док-во сходимости последовательности приближённых решений).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x₀) = y₀ (2)

2) |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣^α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Док-во.

3) у_k(x₀) = x₀. Покажим, что Ǝ предел посл-стей (у_n(x)), обозначим его У(х) = и покажим, что посл-сть приближений (4):

...

сходится равномерно на |x-x₀| ≤ h.

Рассмотрим функциональный ряд, k-ая частичная сумма которого равна у_k(x): y₀ + (y₁(x)-y₀) + (y₂(x)-y₁(x)) + … + (y_n(x)-y_n_-1(x)) + … (5), S_n = y_n(x). Доказав сходимость (5) док-ем Ǝ предела пос-сти приближений y_n(x) и если сх. будет равномерной, то пос-сть будет сх. к непрер. ф-ции.

Оценим абсолютные величины членов ряда (5): (*)

Аналогично: . Докажем, что для любого n>0 справедливо: (**).Для этого применим ММИ, при условии справедливости нер-ва (**) справедливо нер-во для (n+1):

(6).

Следовательно (**) справедливо для любых n, если |x-x₀| ≤ h. Обозначим (**) для разл. n через (7).

(8).

Таким образом, члены функционального ряда (5) меньше ряда с положительными членами.

Этот ряд сходится по признаку Д'Аламбера

Так как все члены ряда (5) по абсолютно величине меньшей членов сходящейся числового ряда, то (5) по пр. Вейерштрасса сходится равномерно для всех х,удовлетворю неравенству .

Каждый член ряда (5)-неперывная ф-ция от х. Так как интеграл есть ф-ция непрерывная( ф-ция переменного предела), то существует ,где У(х) удовлетворяет начальному условию, график этой функции не выходит из области Д

Действительно,

Переходя к пределу в последнем неравенстве, получим:,а это и значит, что график функции не выходит из области D.