Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x₀) = y₀ (2)

1) D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣^α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х₀) = у₀ ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

Покажем, что есть решение интегрального уравнения (3). Для этого покажем сначало, что предел , то есть допустим предельный переход под знаком интеграла.

Так как y_n(x) сх. равномерно к Y(x) на промежутке , то по-любому Е>0, будет выполнятся неравенство:.Для любого х из одновременно.

Оценим разность:

Отсюда следует, что .Из предыдущего следует, что . И в равенстве, определ. , перейдём к пределу при н-к бескон.

, данная ф-ция явл решением интегрального уравнения (3).Значит решение ур-я (1),определённом и непрерывно дифф. при и удовлетвор. Начальному усл (данная ф-ция допускает производную по х,так как в правой части уравнения стоит интеграл от непрерывной функции,допускающая производную по верхнему пределу).