Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2)

1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х0) = у0 ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

Докажем единственность найденного решения, удовлетвор.начальному условиюот противного.

Пусть на отрезке ,кроме решения У(х) существует другое решение Z(x), удовлетворяющее тому же нач. усл..Без ограничения общности можно предположить,что значение х,для кот. находящиеся вправо от х0 в любой близости от х0.Рассмотрим любой малый , на кот. .

Так как У(х) и равны не во всех точках этого отрезка, то в некоторой точке х=х1, лежащей в интервале абсолютной величиной разности == достигает наибольшего значения

2 решения

т.е,

Что невозможно, т.к е>0, поэтому его можно выбрать сколь угодно мало.Противоречие показывает, что на промежутке .Аналогично доказывается совпадение на промужутке ,т.е решение единственно.

Зам.1. В ходе док-ва заменили ДУ (1) интегральным уравнением (3),так как условие для равномерной сходимости последовательности интегралов значительно проще последовательности производн.

Зам.2. Док-во существования ДУ(1) проверено методом последовательных приближений в предположении,что правая часть ДУ удовлетворяет усл.Липшеца по переменной у.При помощи др. методов модно док-ть существ-е решения достаточно потребовать непрерывность ф-ции f(x,y) по обеим переменным (этого условия не обеспечит!!!)Метод последоват. Приближений – конструктивный метод,дающий способ приближ. Решения с определённой степенью точности.

Зам. 3. Условие Липшица заведомо выполняется в той области, где f(x,y) имеет огранниченную састную производную по х.Но!!!неравенсво Лимпшеца может выполняться тогда, когда существует невсюду.