Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.

Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <1, такое что выполняется нер-во:. Fназывается сжимающимся отображением.

Теор. Стефана Банаха.Если - сжимающее, то сущ-т единств. точка , для которой .Точка х₀- наз. неподвижной точкой сжимающего отображения f.

Теор. Пикара.Пусть дано ДУ (1) и начальное условие: (2). Если ф-ция удовл-т 2 усл:

1) непрерывна по обеим переменным в замкнутой обл. .

а, b- действительные числа. Из свойств непрерывной функции в замкнутой обл. Д, следовательно существуют такое число М, такое что: .

2) ф-ция в обл. Д удовлетворяет условию Липшица по переменной у: , где L- постоянная Липшица.

Тогда существует единственное решение y(x), удовлетворяющее начальному условию: ,определённое и непрерывно дифференцируемое для значения x из интервала , не выходящее при этих значениях из обл. Д

(Единственноре решение значит, что : , То эти решения совпадают на пересечении интервалов, где эти пересечения определены).

►Рассмотрим метрическое пространство С, элементами которого являются всевозможные непрерывные функции y(x),определённые на .С-пространство непрерывных функций,определённых на ,графики ф-ций лежат в области Д.Расстояние определяется равенством:. Было доказано, что это пространство полное и что сходимость (в смысле метрики)означает равномерную сходимость. Запишем ДУ(1) с начальным усл.эквивалентным интегральным уравнением: (*)

Рассмотрим оператор :,ставящий в соответствие каждой неперрывной ф-ции у(х),заданную на и имеющий графики ф-ции,не выходящие за область Д непрерывн. Ф. Ау, определённая на том же отрезке, графики которой не выходят из области Д

.Значит, оператор Ау отображает пространство Св себя.

Уравнение (1) можно записать в виде:у=Ау. Тогда для док-ва торемы о существовании и единственности необходимо доказать существование в пространсве С единственно неподвижной точкой оператора А.Т.к. в этом смысле .Тогда интегральное уравнение удовлетворяется. Покажем, что оператор явл.юсжимающим,т.е ,где .т.к ф-ция f(x,y) на Д удовлетворяет условию Липшица, то

Надо взять h такое, чтобы .получим,что оператор А удовлетвор. Усл:,т.е оператор сжимающийю

Согласно принципу сжатых отображений сущ-т ! неподвижная точка оператора А – это тоже самое,что сущ-т решение интегрального уравнения.◄