Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.

Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ₁(х, у₁, ..., у_n) = C_i (13). Ф-ция ψ₁(х, у₁, ..., у_n) обращается в постоянную при замене у₁, ..., у_n любым частным решением с-мы (2), располож. в обл. задания общего решения (11). Т.е. имеем тождество: ψ₁(х, ϕ₁(х, С₁, ..., С_n), …, ϕ_n(х, С₁, ..., С_n)) C_i (14).Всякая ф-ция ψ₁(х, у₁, ..., у_n) обладающая таким св-вом наз. интегралом с-мы (2).

Опр. Ф-ция ψ₁(х, у₁, ..., у_n), не приводящаяся к постоянной наз. интегралом с-мы (2), если при замене у₁, ..., у_n любым частным решением этой с-мы, она обращается в постоянную.

Опр.Ф-ция ψ₁(х, у₁, ..., у_n), имеющая непрер. частные производные по (х, у₁, ..., у_n) и такая что, в рассматр. области частные произв. , , ..., не обращаются одновременно в 0 наз. интегралом с-мы (2), если полный дифференциал этой ф-ции обращается в 0 в силу с-мы (2), т.е. имеет место тождество: (15).

Равенство ψ(х, у₁, ..., у_n) = С (16), где ψ(х, у₁, ..., у_n) – интеграл с-мы (2), а С – произвольная постоянная наз. первым интегралом с-мы (2).

Каждое равенство (12) явл. первым интегралом с-мы (2).

Совокупность первых интегралов обладает тем св-вом, что она разрешима относительно искомых ф-ций (х, у₁, ..., у_n). Причём в результате этого получаем общее решение (11) с-мы (2). Эту совокупность наз. общим интегралом с-мы (2) в обл. D.