Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.

Рассм лин с-му: (1), или (1')

, , или (1'')

Коэфф - постоян действ числа, -непр ф-и на . Применяя общую теорию лин с-м, можно утверждать, что с-ма (1) будет проинтегрирована в конечном виде, т.е м.б. получено реш-е в виде элемент ф-й или квадратур.

Рассм соотв однородную с-му: (2)

Для пост-я общ реш-я с-мы (1) нужно построить общ реш-е соотв однородн с-мы (2). Построим для этого какую-нибудь ФСР.

Построение ФСР и общ реш-я с-мы (2) в случае различных корней ХУ.

Следуя Эйлеру, реш-е с-мы (2) будем искать в виде (3), где -некот постоян числа, причем невсе одновременно равны 0. Подставим (3) в (2) и сокращая на , получим для определения чисел след с-му:

(4)

Для того чтобы однор лин с-ма имела ненул реш-я необх и дост , чтобы ее определитель был=0.

(5)

Ур-е (5) наз ХУ, а его корни - характ числа с-мы (2). Каждому из корней ХУ соотв хотя бы одно частн реш-е вида (3).

Различают 3 случая:

1)Все корни ур-я (5) различны и действительные. В этом случае, полагая в с-е (4) , где , мы получаем с-му : Решая эту с-му найдем ненулевые . Подставляя и в реш-е (3) имеем:

все эти реш-я л.н

Общ реш-е имеет вид:

 

2)Если характ числа различные, но среди них имеются комплексные. Последние входят сопряженными парами . все эти числа –корни ХУ.

Отделяя в реш-ии действ и мнимую часть , получим 2 веществ л.н частных реш-я однородн с-мы. Корню ХУ будут соотв л.з реш-я. Построив частн реш-я, соотв всем парам сопряжен корней и всем действ корням, взяв их лин комбинац, получим общее реш-е.

3)Случай наличия кратных корней.

Способ, предложенный ранее не применим. Имеет место т-ма.

Т-ма: Если - характ число кратности К, то ему соотв реш-е вида : , где полиномы не выше степени (k-1), имеющие в совокупности k произв коэфф. Все остальные коэфф выражаются через них.