Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.

1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка.

Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)).

Обозначим искомую ф-цию у = у₁. И введём в рассмотрение новые ф-ции у₂, у₃, ...,у_n, определяя их при помощи след. соотношений: у₂ = y', у₃ = y'', ..., у_n = y^(n-1). В силу такого выбора новых ф-ций и данного ур-ия будем иметь: - нормальная с-ма ДУ, равносильная исходному ур-ию.

2)Приведение норм. с-мы n ур-ий к одному ур-ию n-ого порядка.

Пусть дана с-ма: , где f_i – непрер. ф-ции, имеющие производные до порядка.

Продифферен. первое ур-ие (n-1) раз по х. Считая у_i ф-циями от х и заменяя после каждого диффер. производные y₁', y₂', ..., y_n' их выражениями из данной с-мы. Тогда получим с-му ур-ий: .

Предположим, что . Тогда с-ма ур-ий, составленная из 1-го ур-ия 1-ой с-мы и первых (n-2) 2-ой с-мы, разрешима относительно у₂, у₃, ..., у_n. При этом у₂, у₃, ..., у_n выраж. через x, y', y'', …, y^(n-1). Заменяя в последнем ур-ии второй с-мы ф-ции у₂, у₃, ..., у_n. Получим ур-ие 1-го порядка y₁⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)). Можно показать, что решение этого ур-ия и ф-ции у₁, у₂, ..., у_n дают общее решение исходной с-мы.