Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x) (2). Если в (2) g(x) = 0, то у'+р(х)у = 0 (3) – линейное однородное ДУ.

Будем считать ф-ции p(x), g(x) непрер. на некотором промежутке I. Из теор. Пикара => (2) имеет единств. решение у = у(х) удовл. начальным усл. у(х₀)=у₀, у₀ϵI, его можно выбирать произвольно. Т.е. через каждую (.) (х₀,у₀) проходит единств. интегральная кривая уравнения (2).

Покажим, что (2) всегда интегр. в квадратурах, р(х) – непрер. ф-ция. у'+р(х)у = 0 | y = 0? .

Решение у=0 содержится в общем решении при С=0.

Покажим, что (4) явл. общим решением (3) в области I=(a,b), . Действительно, у разрешено относительно С: , где ф-ция С определена на . Кроме того, по построению (4) явл. решением (3) в интервале (a,b) при всех знач. произвол. постоянных С. Заменив неопредел. интеграл определённым: (5).Положив х₀ = х и обозначив у(х₀) = у₀ и тогда решение получим: , если у₀ – произвол., то это общее р-ие, если у₀ – фиксир., то это частное решение линейного однородного ДУ.