Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.

D⊂R² – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение.

Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (1) в обл. D, если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Суть опр. состоит в след.: пусть дано семейство кривых F располож. в D и зависящих от одного параметра С. Если про каждую кривую из F известно, что она явл. интегральной кривой ур-ия (1) и все кривые из F в их совокупности покрывают D, то F – общее решение (1) в обл. D.

Опр. Если решение ур-ия (1) состоит только из точек единств. решения задачи Коши для этого ур-ия, то оно наз. частным решением.

Опр. Соотношение Ф(х,у,С) = 0 наз. общим интеграллом (1) в D, если оно определяет общее решение у = ϕ(х,С) ур-ия (1).

Опр. Решение в параметрической форме , зависящ. от произв. const C, наз. общим решением в параметр. форме.

Опр. Особым решением (1) наз. такое решение, в каждой точке кот. нарушена единств. задачи Коши.

Опр. Кривая, кот. в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства решений Ф(х,у,С) = 0 и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства наз. огибающей кривой.

Огибающее семейство ур-ия (2) представляет собой особое решение этого ур-ия.

Опр. Точка (х,у)ϵD наз. точкой -ия ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если через неё проходит хотя бы одно решениеэтого ур-ия.

Опр.Точка -ия (х,у)ϵD, обладающая окрестностью внутри кот. все решения ур-ия, проход. через эту точку совпадают наз. точкой единствен.

Опр. Точка -ия (х,у)ϵD через кот. проход. 2 решения с одной касат. и различ. в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки наз. точкой ветвления. Решение этого ур-ия, график кот. состоит из точек ветвления наз. особым решением.