Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.

у₁(х), у₂(х), ..., у_m(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у₁(х), у₂(х), ..., у_m(x) означает, что существуют такие числа α₁, ..., α_m – не все одновременно равные 0, что на [a,b] выполн. нер-во α₁у₁(х) + ...+ α_mу_m(x) = 0 (6)хϵ[a,b]. Если (6) выполн. на [a,b] только в случаи, когда все α_i = 0, тогда ф-ции у₁(х), у₂(х), ..., у_m(x) наз. линейно независимыми.

Теор.(необх. усл. линейной зав-сти ф-ций)Если ф-ции у₁(х), у₂(х), ..., у_m(x) л.з. на [a,b] и имеют производные до порядка (n-1) включительно, то определитель (х)ϵ[a,b] (7)- определитель Вронского. Обознач. W(x) или W(у₁,у₂,..., у_m).

►В силу теоремы: α₁у₁(х) + ...+ α_mу_m(x) = 0, где хϵ[a,b] и не все α_i = 0. Пусть α_m ≠ 0, тогда . Диффер. последнее равенство (m-1) раз и подставим в y_m значения у₁(х), у₂(х), ..., у_m-1(x) и их производные. Запишем определитель Вронского: . Разлагая этот определитель на сумму определителей будем иметь в каждом из них 2 пропорц. столбца. Это значит, что все определители равны 0 и W(x) = 0 (х)ϵ[a,b]. ◄

Сл-вие.Если W(x) ≠ 0 хотя бы в одной точки [a,b], тогда ф-ции у₁(х), у₂(х), ..., у_m(x) л.н. на [a,b]. ►Из теоремы◄