Различные виды уравнений прямой на плоскости.

1. Параметрические уравнения. Возьмем прямую l, заданную точкой M₀Îl и направляющим вектором l || l (пишем: l = [М₀, l]). Точка М лежит на прямой l тогда и только тогда, когда векторы М₀М и l коллинеарны, а эта коллинеарность по признаку 2.12 равносильна тому, что при некотором действительном t выполнено равенство

(13.1) М₀М = tl.

Уравнение (13.1) называется параметрическим уравнением прямой l в векторной форме. Если толковать параметр t как время,– уравнение(13.1) описывает равномерное прямолинейное движения точки М, где l – вектор скорости этого движения. Геометрически же параметр t – это координата точки М в репере (М₀, l) на прямой l. Область его определения в уравнении (13.1) – вся числовая ось. Если эту область уменьшить, уравнение (13.1) будет задавать лишь часть прямой. Например, если положить tÎ[0;+µ), получится луч [М₀, l).

Пусть прямая l лежит на плоскости, где задана АСК Оxy, причем точка М₀ имеет координаты (х₀,у₀), точка М – координаты (х,у), а вектор l – координаты (a,b). Расписывая векторное уравнение (13.1) в координатах, получаем систему параметрических уравнений прямой l в координатной форме:

(13.2) ,

Мы показали, что всякую прямую в АСК на плоскости можно задать системой параметрических уравнений. Очевидно и обратное: если хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю, система (13.2) задает в АСК на плоскости прямую, проходящую через точку (х₀,у₀) и параллельную вектору (а,b).

2. Канонические уравнения прямой. Систему (13.2) мы получили, применив к векторам М₀М и l признак коллинеарности 2.12. Если применить вместо него теорему 6.1, получим каноническое уравнение прямой на плоскости:

(13.3) = 0.

Раскрыв определитель, это уравнение можно переписать так:

(13.4) b(x–x₀) = a(y–y₀),

а если a ¹ 0 и b ¹ 0, то, поделив обе части равенства (13.4) на ab, еще и так:

(13.5) .

Форму (13.5) канонического уравнения мы будем называть опасной, ибо здесь надо следить, чтобы знаменатели дробей не обращались в нуль. Зато в такой форме оно, как мы увидим в §18, переносится на случай прямой в пространстве.

3. Уравнения прямой, заданной двумя точками. Чтобы написать параметрические и канонические уравнения прямой, заданной точками М₀(x₀,y₀) и М₁(x₁,y₁), достаточно заметить, что вектор M₀M₁(x₁–x₀, y₁–y₀) будет для этой прямой направляющим. Каноническое уравнение в опасной форме при этом приобретает вид

(13.6) .

Другие уравнения запишите самостоятельно.

Специальный интерес представляет случай, когда точки M₀ и М₁ лежат на координатных осях (но не в начале координат), т.е., M₀(m,0), M₁(0,n), и m, n ¹ 0. Числа m и n здесь называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях, а уравнение (13.4) приобретает вид nx = –m(y–n) Û nx + my = mn Û

(13.7) .

Уравнение (13.7) называется уравнением прямой в отрезках.

4. Примеры решения задач. (13.8) Задача. Прямая задана параметрическими уравнениями х = 2t – 5, y = –3t + 1. Записать ее каноническое уравнение.

ð Из параметрических уравнений находим, что точка М₀(–5, 1) лежит на данной прямой, а вектор l(2, –3) служит для нее направляющим. Это позволяет сразу записать каноническое уравнение прямой в любой из трех его форм, например, в опасной:

. ð

В решении этой задачи просматривается общая схема перевода уравнений прямой из одной формы в другую: сначала по данным уравнениям находятся задающие прямую элементы (в данном случае это были точка и направляющий вектор), а потом по ним составляются искомые уравнения. Впрочем, как раз здесь можно было пойти и другим путем: выразить параметр t из обоих данных уравнений, а потом приравнять полученные выражения: получилось бы каноническое уравнение в опасной форме.

(13.9) Задача. Лежит ли точка М(2,1) на прямой х = 3t – 2, y = –2t + 1?

ð Составим систему уравнений: 2 = 3t – 2, 1 = –2t + 1. Из первого уравнения t=4/3, из второго t = 0, то есть система несовместна. Значит, точка не лежит на прямой. ð