И.С. Рубанов: Геометрия

И.С. Рубанов

Геометрия.

Глава 1. Векторы

Понятие вектора

2. Коллинеарность направленных отрезков. Два направленных отрезка называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. При этом… Поскольку через точку можно провести прямую параллельно любой другой, нулевой… 3. Сонаправленность и противоположная направленность Возьмем два ненулевых коллинеарных направленных отрезка и . Через…

Проектирование и разложение векторов

Если прямая р и плоскость П перпендикулярны, точки А1 и А2 называются ортогональными (прямоугольными[4]) проекциями точки А. В этом случае… Возьмем вектор а и изобразим его направленным отрезком . Векторы а1 = О1А1 и… (3.1) проекция вектора на прямую (плоскость) параллельна этой прямой (плоскости). ÿ

Векторные пространства.

Координаты вектора.

(V1) Сумма любых двух векторов из V содержится в V (замкнутость относительно сложения). (V2) Произведение вектора из V на любое число содержится в V (замкнутость… Два этих условия можно заменить одним:

Скалярное умножение векторов

Проверим, что угол между векторами не зависит от выбора точки О. Это очевидно, если векторы коллинеарны. В противном случае отложим от произвольной… Теперь мы можем дать основное в этом параграфе (5.1) Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b (обозначается ab) называется число[6], равное…

Ориентация плоскости и пространства

Определителем матрицы второго порядка, или, короче, определителем второго порядка называется число, равное а11а22 – а12а21 . Обозначается этот… Пусть в некоторой векторной плоскости V2 заданы базис B = (е1,е2) и… Пусть векторы а и b коллинеарны. Тогда по признаку коллинеарности их координаты пропорциональны. Не умаляя общности,…

Смешанное произведение векторов

Пусть V3 – ориентированное трехмерное векторное пространство, B = (i,j,k) – его положительно ориентированный ортонормированный базис. Смешанным[10]… (7.1) abc = . Прямо из определения смешанного произведения вытекают такие его свойства:

Векторное произведение векторов

(ВП1) Вектор a´b ортогонален векторам а и b . (ВП2) | a´b | = |а||b|sinÐ(a,b) . (ВП3) Базис (a,b, a´b) векторного пространства V3 положительно ориентирован.

Глава 2. Метод координат. Прямая на плоскости.

Аффинные координаты

Отложим на прямой l вектор ОЕ = е. При заданной точке О по точке Е можно определить вектор е, и наоборот. Поэтому наряду с парой из точки и вектора… Радиус-вектором точки МÎl относительно начала координат О называется… Вспомним, чтоСогласно признаку 2.12, если ОМ = хе, то по определению произведения вектора на число х = |ОМ|/|е| при…

Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид

Обычно в описанной выше ситуации репер R называют "старым", репер R' – "новым", а формулы 9.6 – формулами перехода от старого… Отметим два важных частных случая формул (9.6). Если O' = O, то говорят, что… (9.7) ,

Деление отрезка в данном отношении.

(10.1) (АВ,С) = . Если точка С лежит на отрезке [АВ], то АС­­СВ и наше определение совпадает со… (10.2) Примеры. Середина отрезка делит его в отношении 1. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2…

Полярные координаты.

Договоримся, что задание угла тремя точками автоматически задает его ориентацию: у угла ВАС первой будем считать сторону АВ. Возьмем ориентированный… (11.1) a = a0 + 2pk, (kÎZ) 2. Определение полярных координат (ПК). Аппарат ПК состоит из точки О, называемой полюсом, луча [ОА), называемого…

Задание фигур в координатах.

1. Основные понятия. Напомним, что фигурой мы называем любое множество точек. Задать множество – значит указать правило, по которому для каждого объекта мы можем установить, принадлежит он данному множеству или нет. Такое правило называется характеристическим свойством данного множества. При этом обычно испытанию подвергаются не все мыслимые объекты, а только элементы так называемого универсума: некоего "универсального" множества, заведомо содержащего наше. Для фигур роль универсума играют плоскость или пространство.[16] Мы обычно будем работать с плоскими фигурами, но все сделанное с очевидными изменениями переносится и на случай пространства.

Пусть на плоскости задана АСК Оху. Говорят, что фигура Ф задана в данной АСК уравнением F(x,y) = 0, если

(12.1) М(х,у)ÎФ Û F(x,y) = 0,

т.е., если вместо того, чтобы проверять, принадлежит ли точка плоскости фигуре Ф, мы можем проверять, удовлетворяют ли координаты этой точки в данной АСК уравнению F(x,y) = 0. Аналогично определяется задание фигуры неравенством, системой и, вообще, любым соотношением между координатами ее точек.

(12.2) Замечание. Понятно также, что АСК можно в данном определении заменить любой другой системой координат. Если при этом координаты любой точки в данной системе координат определяются однозначно, то в ней любое соотношение между координатами задает некоторую фигуру (возможно, пустую). Если же такой однозначности нет (как, например, в полярной системе координат) может случиться, что у одной и той же точки некоторые наборы координат удовлетворяют данному уравнению, а некоторые – нет. В таких случаях обычно считается, что уравнение выбрано некорректно и не задает в данной системе координат никакого множества. Но иногда используют другой подход: считают, что точка принадлежит заданному уравнением множеству, если этому уравнению удовлетворяет хотя бы один набор ее координат.

Доказывать, что уравнение F(x,y) = 0 действительно задает фигуру Ф, удобнее всего прямой проверкой равносильности (12.1). Но это далеко не всегда удается. Тогда утверждение (12.1) разбивают на два взаимно обратных:

(12.1а) М(х,у)ÎФ Þ F(x,y) = 0

(12.1б) F(x,y) = 0 Þ М(х,у)ÎФ

и доказывают их по отдельности.

2. Две основные задачи о задании фигур в координатах состоят в том, чтобы по данной фигуре найти ее уравнение[17] и по данному уравнению найти заданную им фигуру. Во втором случае "найти" означает "описать наглядно", что в простейшем случае подразумевает представление искомой фигуры как объединения конечного числа известных простейших фигур: точек, прямых, лучей, отрезков, окружностей, дуг и т.п. Рассмотрим примеры.

(12.3) Задача. Задать уравнениями в данной АСК ее оси.

ð Зададим ось абсцисс Ох. Имеем: М(х,у)ÎОх Û ОМ || е₁ Û ОМ = хе₁ Û у=0. Аналогично, ось ординат задается уравнением х = 0.ð

(12.4) Задача. Какую фигуру задает уравнение z = 0 в АСК в пространстве?

ð М(х,у,0) Û ОМ = хе₁ + уе₂ Û векторы ОМ, е₁ и е₂ компланарны Û ОМ||Оху Û МÎОху. Таким образом, уравнение z = 0 задает в АСК в пространстве координатную плоскость Оху. ð

(12.5) Упражнение. Какие фигуры задают в АСК в пространстве уравнения
х = 0, у = 0? Как задать в АСК в пространстве координатные оси? Октанты?

3. Уравнения окружности и сферы. (12.6) Задача. Задать уравнением в ПДСК окружность Окр(О,r) с центром О(х₀,у₀) и радиусом r.

ð М(х,у)ÎОкр(О(х₀,у₀), r) Û |ОМ| = r Û = r Û
(12.7) (x–х₀)² + (y–у₀)² = r² ð

(12.7) и есть уравнение окружности (в ПДСК на плоскости). Если заменить в нем знак равенства знаком £, получившееся неравенство будет задавать ограниченный данной окружностью круг. Аналогично доказывается, что уравнение

(12.8) (x–х₀)² + (y–у₀)² + (z–z₀)²= r²

и неравенство

(12.9) (x–х₀)² + (y–у₀)² + (z–z₀)² £ r²

задают в ПДСК в пространстве соответственно сферу и шар с центром О и радиусом r. А вот уравнение (12.7) в пространстве задает уже не окружность, а цилиндр с осью, параллельной Oz: действительно, вместе с любой точкой М(а,b,0) ему удовлетворяют и все точки вида (а, b, z) где z – произвольное действительное число.

4. Задание пересечений и объединений фигур. Пусть фигуры Ф₁ и Ф₂ заданы в некоторой АСК на плоскости уравнениями F₁(x,y) = 0 и F₂(x,y) = 0 соответственно. Пересечение Ф₁ÇФ₂ данных фигур по определению состоит из всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам. Поэтому М(x,y)ÎФ₁ÇФ₂ Û F₁(x,y) = 0 и F₂(x,y) = 0. Последнее утверждение принято записывать в виде системы:

(12.10) .

Объединение МÎФ₁ÈФ₂ состоит по определению из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из двух данных фигур. Поэтому МÎФ₁ÈФ₂ Û F₁(x,y) = 0 или F₂(x,y) = 0, что принято записывать в виде совокупности:

(12.11) .

Совокупность (12.11) для краткости нередко заменяют равносильным ей уравнением F₁(x,y)F₂(x,y) = 0, а систему (12.10) – равносильным уравнением (F₁(x,y))² + (F₂(x,y))² = 0.

Рассмотрим примеры.

(12.12) Задача. Как задать в АСК на плоскости координатные четверти.

ð Полуплоскости, на которые координатные оси делят плоскость, очевидно, задаются неравенствами х > 0, х < 0, у>0, y < 0. Поэтому четверти (без точек координатных осей) задаются системами , , и .ð

(12.13) Задача. Какую фигуру задает в АСК в пространстве уравнение ху = 0.

ð Данное уравнение равносильно совокупности уравнений х = 0 или у = 0, задающей объединение координатных плоскостей Oyz и Oxz. ð

5. Параметрический способ задания линий. Представим себе, что по координатной плоскости движется точка, причем движение началось в момент t = a и закончилось в момент t = b. Линия T, которую описывает движущаяся точка, называется траекторией движения. Координаты (х,у) движущейся точки являются числовыми функциями х = х(t), y = y(t) времени tÎ[а;b]. Покажем, что траектория Т задается системой

(12.14) .

В самом деле, чтобы проверить, лежит ли данная точка М₀(х₀,у₀) на траектории Т, достаточно решить систему 12.14 при х = х₀, у = у₀: если решение есть, то точка М₀ лежит на траектории, в противном случае – нет.

Система 12.14 называется системой параметрических уравнений траектории Т. Переменная t при этом называется параметром, а промежуток [а,b] – областью определения (или областью изменения) параметра.

Рассмотрим точку, вращающуюся по окружности радиуса r с центром в начале ПДСК с постоянной угловой скоростью w. Пусть при t₀ = 0 она находится на оси абсцисс. За время t ее радиус-вектор повернется на угол j = wt. Подставляя это значение j в формулы (11.2), получаем параметрические уравнения окружности:

(12.15) .

Это уравнения равномерного вращательного движения. При w = 1 они превращаются в уравнения (11.2), а параметром можно считать сам полярный угол j.

Область изменения параметра в (12.15) подобрана так, чтобы движущаяся точка успела обойти всю окружность. Если уменьшить эту область, система (12.15) будет задавать не всю окружность, а только ту ее дугу, которую движущаяся точка успеет описать за отведенное время.

Различные виды уравнений прямой на плоскости.

(13.1) М0М = tl. Уравнение (13.1) называется параметрическим уравнением прямой l в векторной… Пусть прямая l лежит на плоскости, где задана АСК Оxy, причем точка М0 имеет координаты (х0,у0), точка М – координаты…

Общее уравнение прямой на плоскости.

(14.1) Ах + Ву + С = 0 , причем, поскольку вектор l – ненулевой, будет выполнено условие (14.2) А2 + В2 ¹ 0 .

Метрические задачи теории прямых на плоскости.

1. Нормальный вектор прямой. Нормальным вектором n прямой l называется направляющий вектор перпендикуляра к этой прямой (пишут: n^l). Поскольку на… (15.1) Теорема. Уравнение прямой l, заданной точкой М0(х0,у0) и нормальным… (15.2) А(х–х0) + В(у–у0) = 0

Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве.

Различные виды уравнений плоскости.

1. Параметрические уравнения. Пусть дана плоскость П = [М0, a, b], и в некоторой АСК М0(х0,у0,z0), a(a1,a2,a3), b(b1,b2,b3). Тогда по теореме 3.10 … М(х,у,z)ÎП Û М0М, а, b компланарны Û (16.1) М0М = ua + vb ( (u,v)ÎR2 ) Û

Общее уравнение плоскости.

М(х,у,z)ÎП Û (16.3) Û (x–x0) +0 (y–y0) + (z–z0) = 0 Û (17.1) Ax + By +Cz + D = 0, где А = , В = , С = , D = –(Ах0+Ву0+Сz0). При этом

Различные виды уравнений прямой в пространстве.

(18.1) , где М0(х0,y0,z0) – точка, лежащая на прямой, а l(a,b,c) – ее направляющий… 2. Канонические уравнения прямой в пространстве. Вспомним еще раз, что точка М(х,у,z) лежит на прямой l =…

Метрические задачи о прямых и плоскостях в пространстве.

1. Нормальный вектор плоскости – это направляющий вектор перпендикуляра к ней. Равносильным образом его можно определить, как ненулевой вектор,… (20.1) вектор n(A,B,C) является нормальным для плоскости П: Ax + By + Cz + D =… Поскольку все перпендикуляры к данной плоскости параллельны между собой, все нормальные векторы данной плоскости…