Плоскость П в пространстве задается своими точкой М0 и базисной парой, т.е., парой параллельных ей неколлинеарных векторов, образующих базис (a,b) векторной плоскости V2(П). Если плоскость П задана таким образом, то пишут П = [М0, a, b].
1. Параметрические уравнения. Пусть дана плоскость П = [М0, a, b], и в некоторой АСК М0(х0,у0,z0), a(a1,a2,a3), b(b1,b2,b3). Тогда по теореме 3.10
М(х,у,z)ÎП Û М0М, а, b компланарны Û
(16.1) М0М = ua + vb ( (u,v)ÎR2 ) Û
(16.2)
Уравнение (16.1) называется параметрическим уравнением плоскости в векторной форме, а уравнения (16.2) – параметрическими уравнениями плоскости в скалярной форме. Величины u и v называются параметрами, а множество R2 – областью определения (изменения) параметров. Если уменьшить область определения, параметрические уравнения будут задавать не всю плоскость, а только какую-то ее часть. Так, взяв в качестве области определения множество {(u,v)ÎR2| 0 £ u,v £ 1}, мы зададим параллелограмм (вместе с внутренними точками), построенный на векторах M0U = a и M0V = b.
Отметим, что параметры u и v в уравнениях (16.1)-(16.2) – это координаты точки М в репере (М0, a, b) на плоскости П. Их называют внутренними координатами точки М, в отличие от ее внешних координат (х,у,z), заданных в пространстве.
2. Каноническое уравнение. Его мы получим, воспользовавшись признаком компланарности (6.5): М(х,у,z)ÎП Û М0М, а, b компланарны Û
(16.3) = 0 .
Уравнение (16.3) и есть каноническое уравнение плоскости в пространстве.
3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками. Три неколлинеарные точки М0(х0,у0,z0), М1(х1,у1,z1), М2(х2,у2,z2) однозначно определяют проходящую через них плоскость П = [М0М1М2]. Векторы М0М1 и М0М1 образуют ее базисную пару. Используя это, запишите самостоятельно ее параметрические и каноническое уравнения.