Проектирование и разложение векторов

1. Проектирование точек и векторов в пространстве. Пусть в пространстве даны плоскость П и пересекающая ее прямая р. Возьмем произвольную точку А и проведем через нее плоскость ПА || П и прямую рА || р. Точка А1 пересечения прямой рА с плоскостью П называется проекцией точки А на плоскость П параллельно прямой р. Точка А2 пересечения плоскости ПА с прямой р называется проекцией точки А на прямую р параллельно плоскости П (рис.14). Прямая рА и плоскость ПА называются проектирующей прямой и проектирующей плоскостью (для точки А).

Если прямая р и плоскость П перпендикулярны, точки А1 и А2 называются ортогональными (прямоугольными[4]) проекциями точки А. В этом случае проектирующая прямая – это перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость П, а проектирующая плоскость проходит через эту точку перпендикулярно прямой р.

Возьмем вектор а и изобразим его направленным отрезком . Векторы а1 = О1А1 и а2 = О2А2, заданные проекциями точек О и А, называются проекцией вектора а на плоскость П параллельно прямой р и проекцией вектора а на прямую р параллельно плоскости П соответственно (рис.15). Из определения сразу видно, что

(3.1) проекция вектора на прямую (плоскость) параллельна этой прямой (плоскости). ÿ

Рассмотрим некоторые свойства проекций.

(3.2) Теорема. Сумма проекций вектора на данные прямую и плоскость равна этому вектору.

ÿ Надо доказать, что а = а1+а2. Обозначим через В точку пересечения прямой рА с плоскостью ПО (рис.16). Направленные отрезки и равны, ибо сонаправлены (лежат на параллельных прямых рА и р с одной стороны от проходящей через их начала плоскости ПО) и равны по длине (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями ПО и ПА). Поэтому вектор ВА равен вектору О2А2. Аналогично доказывается, что О1О = А1В, откуда по формуле (1.8) получаем, что ОВ = О1А1. Следовательно, а = ОА = ОВ + ВА = О1А1 + О2А2 = а1+а2. ÿ

Представление вектора в виде суммы его проекций называется его разложением по данным прямой и плоскости. Эта операция знакома Вам по школьному курсу физики, где рассматриваются разложения векторов сил, скоростей и т.п.

Проекции вектора на плоскость и прямую были определены с помощью его изображения. Проверим корректность этих определений.

(3.3) Теорема. Проекции вектора на данные прямую и плоскость не зависят от выбора изображения этого вектора.

Для доказательства (и не только) нам понадобится

(3.4) Лемма. Если векторы а1 и b1 параллельны плоскости П, векторы а2 и b2 параллельны прямой p и а1+а2 = b1+b2, то а1 = b1 и а2= b2.

ÿ Преобразуем равенство а1+а2 = b1+b2 к виду а1–b1 = b2–а2. Поскольку а1, b1 || П, а а2, b2 || р, по лемме 2.14 разность а1–b1 параллельна плоскости П, а разность b2–а2 – прямой р. Так как эти разности равны, то получается, что каждая из них параллельна и прямой р , и плоскости П. Но единственный вектор, который может быть одновременно параллелен пересекающимся прямой и плоскости – это нулевой. Поэтому а1–b1 = b2–а2 = 0, откуда а1 = b1 и а2 = b2. ÿ

Доказательство теоремы 3.3. ð Пусть при изображении вектора а одним направленным отрезком его проекции оказались равными а1 и а2, а при изображении этого же вектора другим направленным отрезком получились проекции b1 и b2. По теореме 3.2 а1+а2 = b1+b2 = а. Так как а1, b1 || П и а2, b2 || p, по лемме 3.4 а1 = b1 и а2 = b2. ÿ

(3.5) Теорема. Проекция суммы двух векторов на прямую (плоскость) равна сумме их проекций на эту прямую (плоскость). Если вектор умножить на число, то и его проекции умножатся на это число.

ÿ Чтобы доказать первую часть теоремы, отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, а от точки А – вектор ОВ = b. По определению суммы векторов имеем а+b = ОВ. Пусть О1, А1 и В1 – проекции точек О, А и В на плоскость П параллельно прямой р. Тогда проекции векторов а, b и а+b на плоскость П параллельно прямой р равны, соответственно, О1А1, А1В1 и О1В1. По правилу треугольника О1А1+А1В1 = О1В1, что и требовалось доказать (рис.17). Для проекций на прямую р параллельно плоскости П доказательство аналогично.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть а1 и а2 – проекции вектора а, а b1 и b2 – проекции вектора ха на плоскость П и прямую р соответственно. По теореме 3.2 а = а1+а2 и ха = b1+b2, откуда b1+b2 = ха1+ха2. Так как b1, ха1 || П, а b2, ха2 || р, по лемме 3.4, заключаем, что b1 = ха1 и b2 = ха2, что нам и нужно. ÿ

2. Проектирование точек и векторов на плоскости. Возьмем плоскость p, а в ней – пересекающиеся прямые т и n .Через произвольную точку А плоскости p проведем прямые тА || т и nA || n. Прямая nА пересечет прямую т в точке А1, которая называется проекцией точки А на прямую т параллельно прямой n. Аналогично определяется проекция А2 = тАÇn точки А на прямую n параллельно прямой т (рис.18). Если прямые т и n перпендикулярны, то эти проекции, как и в случае проектирования в пространстве, называются ортогональными.

Возьмем вектор а, параллельный плоскости p, и изобразим его направленным отрезком , лежащим в этой плоскости. Векторы а1 = О1А1 и а2 = О2А2, заданные проекциями точек О и А, называются проекцией вектора а на прямую т параллельно прямой n и проекцией вектора а на прямую п параллельно прямой т соответственно (рис.19).

(3.2*) Теорема. Сумма проекций вектора, параллельного плоскости, на две данные пересекающиеся прямые этой плоскости равна этому вектору.

(3.3*) Теорема. Проекции вектора, параллельного плоскости, на две данные пересекающиеся прямые этой плоскости не зависят от выбора изображения этого вектора.

Самостоятельно докажите теоремы 3.2* и 3.3* по аналогии с теоремами 3.2 и 3.3. Для доказательства теоремы 3.3. сформулируйте и докажите лемму 3.4*, аналогичную лемме 3.4. Сформулируйте и докажите теорему 3.5*, аналогичную теореме 3.5. Дайте определение разложения вектора, параллельного плоскости, по двум пересекающимся прямым этой плоскости.

3. Линейные комбинации. Разложение вектора по системе векторов. Разложением вектора р по системе векторов а, b, ..., c называется его представление в виде:

(3.6) р = xa + yb + ... + zc.

Выражение в правой части равенства 3.6 называется линейной комбинацией векторов а, b, ... , с, а числа х, у, ... , z – ее коэффициентами. Линейной комбинацией векторов а, b, ... , с часто называют также сам вектор р, удовлетворяющий равенству 3.6.

Условия, при которых вектор можно разложить по данной системе векторов, сильно зависят от числа векторов в системе. Например, пусть в системе только один вектор а. В этом случае “линейные комбинации векторов системы” и комбинациями-то назвать трудно: все они имеют вид xa. Если а = 0, то и xa = 0 при любом х. Стало быть, по одному нулевому вектору можно разложить только нулевой вектор. Если же вектор а ненулевой, то ответ дает признак коллинеарности 2.12: р = ха тогда и только тогда, когда векторы р || а. Таким образом, справедлива

(3.7) Теорема. По одному ненулевому вектору раскладываются все коллинеарные ему векторы, и только они. ÿ

Теперь посмотрим, когда вектор раскладывается по двум данным векторам. Если они коллинеарны, то один из них выражается через другой, и все сводится к случаю одного вектора. Изучим теперь случай, когда два вектора неколлинеарны.

(3.8) Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

(3.9) Лемма. Любые два вектора компланарны. Всякий вектор, который можно разложить по двум данным векторам, компланарен с ними. Если среди трех векторов есть два коллинеарных, то эти три вектора компланарны.

ÿ Возьмем любые векторы а и b и отложим их от некоторой точки О: ОА = а, ОВ = b. Каковы бы ни были точки О, А и В, найдется проходящая через них плоскость. Векторы а и b будут ей параллельны по построению, а любой вектор с = ха+уb – по лемме 2.14. Этим доказаны два первых утверждения. Теперь возьмем векторы а, b и с, два из которых коллинеарны. По признаку 2.13 один из них выражается через другой. Пусть для определенности b = хc. Переписав это равенство в виде c = 0а + хb, мы сводим третье утверждение леммы к уже доказанному второму. ÿ

(3.10) Теорема. Вектор р раскладывается по неколлинеарным векторам а и b тогда и только тогда, когда векторы а, b и р компланарны.

ÿ В одну сторону утверждение теоремы вытекает из леммы 3.9. Докажем вторую его половину. Пусть векторы р, а и b параллельны некоторой плоскости s. Выберем в ней точку О и отложим от нее векторы ОА = а и ОВ = b. Прямые ОА и ОВ различны и лежат в плоскости s (почему?). Обозначим через р1 и р2 проекции вектора р на эти прямые. Вектор р1 коллинеарен ненулевому вектору ОА = а. Поэтому существует такое число х, что р1 = ха. Аналогично, найдется такое у, что р2 = уb. Но это значит, что
р = р1 + р2 = ха + уb, т.е. вектор р раскладывается по векторам а и b.ÿ

(3.11) Следствие (Признак компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда один из них раскладывается по двум другим.

ÿ Пусть один из трех векторов раскладывается по двум другим. Тогда векторы компланарны по лемме 3.9. Обратно, пусть векторы а, b и с компланарны. Если векторы а и b неколлинеарны, то вектор с раскладывается по ним в силу теоремы 3.10. Если же а || b, то по признаку коллинеарности двух векторов один из векторов а и b выражается через другой. Пусть для определенности b = ха . Тогда b = ха + 0с , т.е. вектор b раскладывается по векторам а и с. ÿ

Замечание. Сравните теорему 3.10 и признак компланарности трех векторов 3.11 с признаком коллинеарности вектора ненулевому вектору 2.12 и признаком коллинеарности двух векторов 2.13.

Перейдем к случаю, когда система, по которой мы хотим раскладывать, состоит из трех векторов. Если эти три вектора компланарны, то один их них выражается через два других, и все сводится к уже рассмотренному случаю разложения по двум векторам. Если же они некомпланарны, ответ получается очень любопытным.

(3.12) Теорема. По трем некомпланарным векторам можно разложить любой вектор.

ÿ Отложим от произвольной точки О некомпланарные векторы ОА = а, ОВ = b и ОС = с. Заметим, что все прямые ОА, ОВ и ОС различны (иначе они лежали бы в одной плоскости, и векторы а, b и с оказались бы компланарными; по той же причине среди этих векторов нет нулевых). Поэтому среди векторов а, b и с нет коллинеарных.

Возьмем любой вектор р. По доказанному в п.2 р = р1+р2, где вектор р1 параллелен плоскости ОАВ, а вектор р2 – прямой ОС. Поскольку вектор р1 компланарен с неколлинеарными векторами а и b, по теореме 3.10 р1 = ха+уb. А вектор р2, коллинеарный ненулевому вектору с, выражается через него: р2=zc. Складывая два последних равенства, получаем искомое разложение: р = р1+р2 = ха+уb+zc. ÿ

Теперь ясно, какие векторы можно разложить по системе, где больше трех векторов: если в ней есть три некомпланарных вектора – то любые (разложить вектор по трем некомпланарным, а остальные векторы системы приписать к разложению с нулевыми коэффициентами), а если нет, то все сводится к случаю двух или одного вектора.