Пирамида с равнонаклоненными гранями.

 

Определенная доля задач на пирамиду в учебнике связана с пирамидой, в которой боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Такую пирамиду будем коротко называть пирамидой с равнонаклонеными гранями.

Если из основания высоты, точки О, провести перпендикуляры к сторонам основания и соединить точки их пересечения с вершиной, получим линейные углы двугранных углов при основании: .

Треугольники DMO, DON, DOP равны по общему катету DO и острому углу . Из равенства треугольников следуют свойства пирамиды с равнонаклоненными гранями:

1. все высоты боковых граней равны,

2. вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности,

3. углы, образованные высотой пирамиды с высотами боковых граней, равны.

При решении задач на этот тип пирамиды следует помнить формулу площади многоугольника , в случае прямоугольного треугольника полезна формула r=(a+b-c)/2. Для пирамиды с равнонаклоненными гранями справедлива формула . Её легко доказать для треугольной пирамиды.

 

:

 

В основании пирамиды с равнонаклоненными гранями может лежать любой треугольник (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный), из параллелограммов может быть только ромб (квадрат, как частный случай ромба), из всех видов трапеции в основании пирамиды второго типа может лежать произвольная трапеция, в которой суммы противоположных сторон равны.

 

Задача 4.Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом β. Двугранные углы при основании равны α. Найти объём и полную поверхность пирамиды.

Решение.

 

.

По условию задачи АВСД- ромб, АВ=а, <А=β, <РДСА=<РАДС=<РБСА=<РАВС= α.

S_п=S_осн+S_бок, V=⅓ S_осн*h.

S_осн=а²sinβ, S_бок = S_осн/cos α= а² sinβ/ cos α ,

S_п= а²sinβ+ а² sinβ/ cos α=а² sinβ(1+ cos α).

Иначе S_осн=½Р_осн*r, r=ОН=2 S_осн/ Р_осн=аcos β(cos α+1)/ 2cos α.

Рассмотрим ∆РОН- прямоугольный, РО= аcos βsin α(1+ cos α).

V=⅓ а²sinβ аcos βsin α(1+ cos α)= 1/6 а³sin2β sin α(1+ cos α).

ОТВЕТ: V=1/6 а³sin2β sin α(1+ cos α); S_п=а² sinβ(1+ cos α).

При рассмотрении пирамид, у которых одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, особый интерес представляет четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм. С учащимися необходимо выяснить следующие моменты:

 

1. если в основании лежит параллелограмм, то среди боковых граней имеется только два прямоугольных треугольника,

2. если этот параллелограмм является прямоугольником, то все четыре боковые грани являются прямоугольными треугольниками. по теореме о трех перпендикулярах.

3. если этот прямоугольник является квадратом, то эти боковые грани являются попарно равными прямоугольными треугольниками (; ).

Значительно реже встречаются задачи на пирамиду, у которой одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания. Особыми свойствами пирамиды этого типа не обладают, поэтому никаких алгоритмов решения для такого типа задач нет.

 

Задача 5.Основанием пирамиды служит прямоугольник с меньшей стороной а. Найти объем пирамиды, если две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней соответственно под углами 30⁰ и 60⁰.

Решение. V=⅓ S_оснh. Так как две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высота пирамиды h=РВ (боковому ребру), т.е. РВ перпендикулярно к основанию, следовательно, линейные углы двугранных углов РСДА и РАДВ равны углам РСВ и РАВ соответственно, т.е. <РСВ=30⁰, а <РАВ=60⁰, т.к. сторона ДС=а (меньшая).

1. Рассмотрим ∆РАВ- прямоугольный, тогда РВ= АВ*tg60⁰=а√3.

2. ∆РВС- прямоугольный, ctg30⁰=ВС/РВ, т.е. ВС=РВ* ctg30⁰=3а.

3. S_осн=ВС*СД=а*3а=3а². Тогда

4. V=⅓3а²* а√3=а³√3.

Ответ: V=а³√3.

Задача 6.Основание пирамиды- квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания, а большее боковое ребро равно 12. Зная, что две боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 45⁰, определить объем пирамиды.

Решение. V=⅓ S_оснh. Т.к. одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания (пусть это будет ребро РВ), то высота пирамиды h=РВ.

Пусть сторона основания равна а, тогда диагональ основания равна а√2, т.к. АВСД- квадрат.

1. ∆ВРД- прямоугольный: РВ²=144-2а²(по теореме Пифагора).

2. ∆ВРА- прямоугольный и равнобедренный, т.к. <РАВ=45⁰. Тогда АВ=ВР=а; ВР²= а²

3. Приравнивая Выражения, получим 144-2а²= а², отсюда а=4√3, т.е. h=4√3.

4. S_осн= а²=48. V=⅓*48*4√3=192√3/3=64√3.

Ответ: V=64√3.