Рассмотрим ситуацию, когда шар описан вокруг пирамиды. Центр описанного шара равноудален от всех вершин пирамиды. В плоскости основания пирамиды имеется одна точка, равноудаленное от вершины многоугольника, это центр описанной окружности. Тогда все точки пространства равноудаленные от вершины многоугольника, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной окружности. Если пирамида правильная, то центр описанного шара лежит на ее высоте. В пирамиде с равнонаклоненными ребрами центр описанного шара лежит также на высоте. Пользуясь свойством точек, равноудаленных от вершины пирамиды можно сделать вывод, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар; если же шар описан вокруг четырехугольной неправильной пирамиды, то в основании может лежать прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция, либо произвольный четырехугольник, у которого сумма противоположных углов составляет 1800.
Теорема. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.
Сфера называется описанной около многогранника (а многогранник вписанный в сферу), если все его вершины лежат на сфере.
Центр описанной сферы - точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.
Пусть S-вершина треугольной пирамиды SABC, М-центр окружности, описанной около треугольника АВС, ℓ-прямая, перпендикулярная плоскости основания АВС и проходящая через точку М. Тогда каждая точка прямой ℓ равноудалена от точек А, В и С.
Если К- середина какого-нибудь ребра пирамиды (например SВ), то плоскость ά, проходящая через точку К и перпендикулярная ВS, пересекает прямую ℓ в точке О, равноудаленной от всех вершин пирамиды. Эта точка и есть центр описанной сферы.
Рассмотрим методы решения задач на шар, описанный вокруг пирамиды.
Задача7. Найти радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром а.
|
I. способ решения.
1. Рассмотрим ∆ АОМ – прямоугольный: . По теореме Пифагора имеем . .
. (1)
2. Из треугольника AMD найдем высоту h:
.
3. Подставив в равенство (1), получим:
.
Ответ: