Радиус описанного шара можно найти из треугольника АОD, воспользовавшись теоремой косинусов.
(из ). .
По теореме косинусов имеем:
.
III. способ решения.
Радиус описанной сферы можно найти по теореме синусов, с этой целью необходимо найти такой треугольник, в котором искомый радиус является радиусом описанной окружности. В нашей задаче придется построить для точки А точку, симметричную относительно точки М. Эту точку обозначим
|
Работая с треугольником , радиус описанной окружности можно найти из формул площади треугольника: или .
IV. способ решения.
Для нахождения радиуса описанной окружности можно воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Продолжим высоту DM до пересечения со средой, . Треугольник AND является прямоугольным, т.к. вписанный угол DAN опирается на диаметр, AM – перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно (2). Обозначим MN = x, тогда DM + MN = 2R;
H + x = 2R. Воспользуемся равенством (2) и выразим MN:
; ; .
Ответ: .
Задача 8.Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4√2. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
Решение.
Пусть АВСD- основание пирамиды, S- её вершина, К и Е- середины соответственно DC и АС, О1- центр вписанного в пирамиду шара, r- его радиус, М и N- основания перпендикуляров, опущенных из точки О на SK и SC, P принадлежит SK и О1Р┴ SK, SЕ=h. Тогда ОМ= ОЕ= r, ОS= ОС= 12, ОN= =4√2, SN= NC, SN= √OS2- ON2= √144- 32= 4√7, SC=8√7.
Обозначим <ESK=α, <ESC=β.
Тогда
cos β=SN:SO=√7:3, sin β=√2:3.
H= SE=SC*cos β=56/3, ЕС=SC sinβ= 8√14/3.
ЕК= ЕС/√2=8√7/3, tg α=EK/SE=1/√7.
сos α=√7/8, sin α=√2/4.
Расстояние от точки О до боковой грани пирамиды равно ОМ, где ОМ= SО sin α= 3√2.
Из ∆ SОМ находим r/( h- r)= sin α, откуда r=h sin α:( 1+ sin α)=8/3(2√2-1).
Ответ: 1) 56/3; 2) 3√2; 3) 8/3(2√2-1).
Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, радиус которой r=3V/Sп(*), где V-объём пирамиды, Sп - площадь полной поверхности пирамиды.
Доказательство.
Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой грани многогранника равно радиусу сферы.
Пусть S- вершина треугольной пирамиды SАВС. Докажем, что найдется луч ℓ, все точки которого равноудалены от граней трехгранного угла с вершиной S.
Назовем биссектором двугранного угла полуплоскость, разделяющую его на два двугранного угла равной величины. Биссектор есть множество точек двугранного угла, равноудаленных от плоскостей его граней.
Построим биссекторы двугранных углов с ребрами SА и SВ. Они пересекаются по лучу ℓ с вершиной S, каждая точка которого равноудалена от все трех граней трехгранного угла с вершиной S.
Проведем далее биссектор α двугранного угла при каком-нибудь ребре основания (например при ребре АВ). Этот биссектор пересечет луч ℓ в точке О, равноудаленной от всех граней пирамиды. Это и есть центр вписанной в пирамиду сферы.
Заметим, что в n-угольную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда можно вписать сферу в многогранный угол при вершине пирамиды, то есть в том и только в том случае, когда биссекторы двугранных углов при всех ребрах, сходящихся в вершине пирамиды, пересекаются по одному лучу.
Докажем формулу (*). Пусть О- центр сферы, вписанной в пирамиду. Соединим точку О со всеми вершинами пирамиды, пирамида разобьется на четыре пирамиды. Высота каждой из этих пирамид, проведенная из их общей вершины О, равна r- радиус вписанной сферы. Если S1, S2 , S3 и S4- площади граней пирамиды, V- объем пирамиды SАВС, то
V=1/3 S1 r+1/3 S2 r+1/3 S3 r+1/3 S4 r= 1/3 Sn r,
где Sn- площадь полной поверхности пирамиды, отсюда следует формула r=3V/Sп.
Эта формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу.
Задача 9. (ЕГЭ)В правильный тетраэдр МАВС с ребром 24 вписан шар. В трехгранный угол с вершиной М вписан второй шар, который касается первого шара. Найдите объем второго шара.
Решение. Так как тетраэдр правильный, то Sт=4Sосн, где Sосн= =а2√3/4=242√3/4=144√3.
Sт=4*144√3=576√3.
Рассмотрим ∆АВС, АН=R3=а/√3=24/√3.
Из ∆АМН находим по теореме Пифагора МН=8√6.
Для нахождения радиуса вписанного шара используем формулу
rш=3Vт/Sт ; для этого найдем объем пирамиды Vт=1/3 Sосн*МН=1/3*144√3*8√6=1152√2,
отсюда rш=2√6. ОН=rш; МО=6√6; ОО1=r1+ r, где r1-радиус шара, вписанного в трехгранный угол, т.е. ОО1=r1+ 2√6; О1К= r1; МО1= МО- ОО1=4√6- r1.
∆МО1К подобен ∆МОД (по двум углам), тогда можно составить пропорцию О1К:ОД=МО1:МО, отсюда r1=√6.
Тогда объем шара, вписанного в трехгранный угол, находится по формуле:
V= 4/3π r13=4/3 π6√6=8 π√6.
Ответ: V=8 π√6.
Задача10.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно в, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен α. Найти объем пирамиды.
Решение.Vп=⅓ Sосн*h, где Sосн=АВ2, т.к. пирамида правильная, h=РН (высота пирамиды). Проведем апофему пирамиды РК, тогда угол РКН будет равен двугранному углу при основании пирамиды РСДА и равен α. (рис.2)
Проведем отрезок ОЕ перпендикулярный РК, треугольники РОЕ и РНК будут подобными по двум углам, следовательно, <РОЕ= α.
1. ∆РОЕ- прямоугольный, тогда ОЕ= в cosα; РЕ= в sinα, но ОЕ=R=ОН -радиус вписанного шара, следовательно, РН= в+ в cosα= в(1+ cosα)=2в cos2 α/2.
2. ∆РНК- прямоугольный: НК=РН*ctg α= 2в cos2 α/2* ctg α. Отсюда сторона квадрата АВСД равна 4в cos2 α/2* ctg α= 2в cos α* ctg α/2.
3. Sосн=4 в2 cos2 α* ctg2 α/2
4. Vп=⅓*4 в2 cos2 α* ctg2 α/2*2в cos2 α/2= 4/3 в3 sinα cos2 α ctg3 α/2.
Ответ: Vп=4/3 в3 sinα cos2 α ctg3 α/2.
( рис.2)