Выберем в качестве оснований рассматриваемых пирамид грани, лежащие в плоскости АВД. Если S и S1- площади треугольников АВД и А1В1Д, h и h1 - высоты пирамид СДАВ и С1ДА1В1, опущенные из вершин С и С1, <АДВ=β, то
S=1/2 ДА*ДВsin β, S1=1/2 ДА1*ДВ1sin β; h1: h=ДС1:ДС=с, V=1/3Sh, V1=1/3 S1h1,
Отсюда следует, что
V1: V=ДА1*ДВ1*h1/ ДА*ДВ*h=авс.
Задача11. В правильной треугольной пирамиде РАВС сторона основания равна 6, а каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 600. На боковых ребрах пирамиды взяты точки А1, В1, С1 так, что РА1 =2, РВ1 =3, РС1=1.Найти объем получившейся пирамиды РА1В1С1.
.
Решение. Пусть объем данной пирамиды V=1/3 Sосн*h, где h- высота пирамиды , V1- объем искомой пирамиды.
1).Sосн=а2√3/4, если пирамида правильная, тогда Sосн=9√3.
2).АО=R=а/√3=2√3, АС=3√3, ОС=√3 в правильном ∆АВС.
3). ∆ОРС- прямоугольный, <РСО=600, как линейный угол двугранного угла РСВА, тогда РО= ОС tg600=3, т.е h=3.
4). ∆АРО- прямоугольный, тогда по теореме Пифагора находим АР=√21.
5). Находим отношения РА1: РА=2: √21, РС1:РС=1: √21, РВ1:РВ=3: √21.
6) Находим объем данной пирамиды V=1/3*9√3*3=9√3, тогда используя формулу V1: V=р g r, находим, что
V1: V=2/√21*1: √21*3: √21, отсюда V1=18/7.
Ответ: V1=18/7.
Задача12.По стороне основания а найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Решение. Т.к. пирамида правильная, то Sбок= ½ Росн*h, где Росн=4а, h-апофема, h=ОН. (рис.1)
По условию известно, что Sсеч=Sосн=а2, где Sсеч- площадь диагонального сечения пирамиды. Sсеч=SАРС=1/2 РО*АС, где АС=а√2 (диагональ квадрата ДАВС).
Из условия известно, что 1/2РО*АС=а2, отсюда РО=а√2.
Рассмотрим ∆РОС- прямоугольный, h= ОН= а/2, РН= √2а2+а2/4 = 3/2 а.
Тогда Sбок= ½*4а*3/2 а=3а2.
Ответ: Sбок=3а2
(рис.1)
Задача13.В правильной треугольной пирамиде дана сторона основания а и угол наклона βбокового ребра к плоскости основания. Через центр основания проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной двум пересекающимся ребрам. Определить площадь сечения.
Решение .Проведем сечение через ОО2// АS и ДЕ// ВС. Значит, РД//АS и EF//AS, т.е. DEFP- параллелограмм. Проведем О1О2 перпендикулярно плоскости АВС. Т.К. ОО1┴ДЕ, то ДЕ┴ОО2 по теореме о трех перпендикулярах. Тогда DEFP- прямоугольник, т.е. S DEFP= ДЕ* ОО2.
1. ∆АМС: АМ=а√3/2 ( по теореме Пифагора), тогда АО= ⅔АМ= а/√3, ДС= ⅓ а.
2. ∆АОS: cosβ=АО/АS, то АS= а/(√3 cosβ).
3. ∆АОД: tgβ=ДО/АО, тогда ДО= а/3, т.е. ДЕ=⅔ а.
4. ∆АСS подобен ∆ДРС, тогда АS:АС=ДР:ДС, отсюда ДР= а/(3√3 cosβ). Следовательно,
5. S DEFP=⅔ а* а/(3√3 cosβ)= 2√3а2/ (27 cosβ).
6. Ответ: S DEFP=2√3а2/ (27 cosβ).
Задача 14. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом α. Найти объем пирамиды, если её боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол β и радиус вписанного в неё шара равен r.
Решение .Т.к. все грани пирамиды образуют с основанием одинаковый угол, то вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в основание окружности. Сделаем выносные чертежи основания АВСД и ∆РОМ.
1. Соединим точки О2 и М, получим:
∆О2ОМ: tgβ/2 = r/ОМ, то ОМ= r сtgβ/2.
2. Отсюда, МЕ= 2 r сtgβ/2, т.е. FД=2 r сtgβ/2.
3. ∆А FД: sin α= FД/АД, то АД=2 r сtgβ/2: sin α.
4. Значит, Sосн= 4 r2 сtgβ2/2: sin α, т.к Sромба= а2 sin α.
5. ∆РОМ: tgβ=РО/ОМ, то РО= r сtgβ/2 tgβ.
6. Отсюда Vп= ⅓ * 4 r2 сtgβ2/2: sin α* r сtgβ/2 tgβ= 4/3(r3 tgβ ctgβ/2)/sinα.
7. Ответ: Vп=4/3(r3 tgβ ctgβ/2)/sinα.