Пусть { } - есть ФСР ЛОДУ (3.10).
Необходимо доказать, что функция
| (3.11) |
является общим решением ЛОДУ (1).
В соответствии с определением общего решения функция y(x) является общим решением ЛОДУ (3.10), если:
1. она является решением ЛОДУ (1),
2. имеется возможность указать такие числовые значения постоянных , при которых эта функция y(x) будет удовлетворять заданным начальным условиям.
Функция (3.11) - есть решение уравнения (3.10) по третьему свойству решений ЛОДУ.
Покажем, что для этой функции выполняется второе условие.
Зададим начальные условия:
| (3.12) |
Подставим функцию (3.11) в начальные условия (3.12):
| . | (3.13) |
Таким образом, получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определителем которой является определитель Вронского линейно-независимых функций , следовательно
Так как определитель не равен нулю, существуют единственное решение системы (3.13).
Следовательно, можно утверждать, что и будут являться этим единственным решением системы (3.13).
Мы показали, что существует возможность определения таких числовых значений , при которых функция (3.11) удовлетворяет заданным начальным условиям (3.12). Следовательно, функция (3.11) является общим решением дифференциальных уравнений (3.10).
Пример.Пусть дано ЛОДУ .
Тогда - его частные решения.
Проверим, будет ли система функций линейно независимой.
Составим определитель Вронского для этих функций
Следовательно - линейно независимые и образует ФСР ЛОДУ .
Общее решение ЛОДУ