Функция f(x,y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов xи yна произвольный параметр значение функции не изменяется.
Однородная функция нулевого измерения может быть записана в виде f(x,y)=φ(y/x). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевого измерения. Пользуясь тем, что параметрt можно выбирать произвольно, положим t=1/x. Тогда
Пример. тогда Разделив числитель и знаменатель дроби на x, получим
Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) называется однородным относительноxи y, если функция f(x,y) является однородной функцией своих аргументов нулевого измерения. Таким образом, однородное уравнение можно записать в виде
| (1.16) |
Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения, если при замене в ней переменных xи yсоответственно на tx и ty, где t– произвольная величина (параметр), получается та же функция, умноженная на tn, то есть выполняется условие f(x,y)≡tnf(x,y).Показатель степени называется измерением однородности функции.
Уравнение
| (1.17) |
в котором функции M(x,y) и N(x,y) однородные функции одного и того же измерения, также является дифференциальным уравнением, однородным относительноxи y.Уравнения (1.16) и (1.17) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=xz, где z – новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=xz, получим
Подставим выражения для y и dy в уравнение (1.16)
| (1.18) |
откуда или в дифференциалах xdz=[f(z)-z]dx. Это уравнение с разделяющимися переменными. Поделим обе части на x[f(z)-z], получим откуда находим
Если , то окончательно общий интеграл уравнения (1.16) примет вид
| (1.19) |
Пример.Решить уравнение
Решение.
тогда
откуда и кроме того, решением является z=0, следовательно, у=0.
Уравнение вида
| (1.20) |
приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого введем новые переменные u и v вместо x и у, положив x=u+α , y=v+β. Числа α иβ выберем так, чтобы уравнение стало однородным. Так как при указанной замене dx=du, dy=dv, уравнение примет вид
это равносильно требованию
Пример.Найти общий интеграл уравнения
Решение.
Положим, x=u+α, y=v+β, тогда,dx=du, dy=dv и уравнение примет вид
Выберем α и β так, чтобы удовлетворялась система уравнений то есть α=2, β =1(корни).
Получим однородное уравнение
Введем новую переменную , положив v=uz, а значит
Тогда
откуда
или
Возвращаясь к прежним переменным xи y, получим общий интеграл
или где
Обобщенные однородные дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным уравнением, если можно выбрать показатель степени так, чтобы подстановка преобразовала данное уравнение в однородное относительно x и y.
Пример.Дано уравнение
Проверим, что оно является обобщенным однородным уравнением и проинтегрируем его. Положим Тогда и уравнение примет вид
Для того чтобы множитель при dx был однородной функцией (и при том первой степени, так как первое слагаемое первой степени), необходимо потребовать, чтобы откуда α=1/3. Проверим, будет ли множитель при dz тоже однородной функцией первой степени. Если α=1/3, то это действительно имеет место.
Следовательно, подстановка y=z1/3приведет исходное уравнение к однородному виду
В этом уравнении проведем еще одну замену переменной, положив z=ux и соответственно dz=xdu +udx. Получим или после разделения переменных
Отсюда или
Так как то окончательно получаем
Кроме того что дает откуда