Если левая часть уравнения
| (1.32) |
представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то есть, если
то уравнение (1.32) называется уравнением в полных дифференциалах.
В этом случае его можно записать как откуда интегрированием получим общий интеграл
Пример.Уравнение есть полный дифференциал функции . Поэтому уравнение можно записать в виде: откуда находим общий интеграл .
Возникает вопрос: при каких условиях уравнение (1.32) представляет собой уравнение в полных дифференциалах и как найти функцию . Ответом на этот вопрос является следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение
| (1.33) |
где функции и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и представляло собой полный дифференциал некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие
| (1.34) |
Доказательство. Докажем сначала необходимость этого условия. Для этого предположим, что существует такая функция , что , и докажем, что имеет место равенство (1.34). Полным дифференциалом функции является выражение . Так как оно равно выражению (1.33), то мы имеем тождество
справедливое для любых и . Сравнивая множители при и , получим
Продифференцируем обе части первого равенства по а второго – по , имеем
Из равенства производных заключаем, что Докажем теперь достаточность условия (1.34). Для этого предположим, что условие (1.34) имеет место, и докажем, что выражение (1.33) представляет собой полный дифференциал некоторой функции то есть, что справедливы равенства
| (1.35) |
Тем самым задача сводится к отысканию функции , удовлетворяющей системе (1.35) из двух дифференциальных уравнений с частными производными.
Возьмем первое из уравнений (1.35). Его решение можно записать в виде
| (1.36) |
где абсцисса какой-либо точки области , а произвольная функция от , заменяющая произвольную постоянную , поскольку интегрирование производится по в предположении, что сохраняет неизменное значение. Определим так, чтобы удовлетворялось и второе из уравнений (1.35). Продифференцируем обе части равенства (1.36) по Тогда получим но так как , а согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла по параметру имеем то
По условию , следовательно
Последний интеграл равен
поэтому откуда
| (1.37) |
Итак, не только доказано существование функции , но даже выведена формула для нахождения этой функции.
При решении соответствующих задач можно не пользоваться готовой формулой (1.37), а поступать таким же образом, как в общем случае (или с заменой определенных интегралов неопределенными).
Пример.Решить уравнение .
Решение.
,
.
Следовательно Найдем функцию удовлетворяющую уравнениям
Первое из этих уравнений дает
Отсюда поскольку то откуда и .
Следовательно, .
Если бы надо было проинтегрировать дифференциальное уравнение то, переписав его в виде мы получили бы общий интеграл .
Интегрирующий множитель.Если условие не выполнено, то дифференциальное уравнение (1.32) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако его можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию . Она носит название интегрирующего множителя для данного дифференциального уравнения. Оказывается, что для каждого дифференциального уравнения существует такой множитель. Покажем, как определяется этот множитель для уравнения (1.32).
Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, должно быть выполнено условие
Дифференцируем последнее как произведение и получаем
| (1.38) |
Равенство (1.38) является дифференциальным уравнением интегрирующих множителей уравнения (1.32), поскольку каждое из его решений, будучи умножено на обе части уравнения (1.32), приводит последнее к уравнению в полных дифференциалах. Для нахождения надо проинтегрировать уравнение с частными производными (1.38).
Задача значительно упрощается, если зависит от , но не зависит от , или зависит от , но не зависит от .
Пусть , тогда уравнение (1.38) примет вид:
,
,
,
| (1.39) |
Произвольная постоянная равна 0, поскольку нам достаточно иметь какой-нибудь один интегрирующий множитель.
Пусть . Тогда уравнение (7) примет вид:
или ,
| (1.40) |
Для приведения уравнения (1.32) к уравнению в полных дифференциалах в рассматриваемых частных случаях практически поступают так. Составляют выражение и берут его отношение к . Если это отношение не зависит от , то для нахождения интегрирующего множителя следует пользоваться формулой (1.39), в противном случае пользуются формулой (1.40).
Пример.Решить уравнение .
Решение.
, ,
, ,
.
Отношение зависит от и .
Отношение зависит только от .
Следовательно, интегрирующий множитель может быть найден по формуле (8).
Умножая обе части уравнения на , получим
или
Так как , то общий интеграл получается путем интегрирования в виде