Уравнения первого порядка n-степени. Левая часть уравнения представляет собой целую рациональную функцию относительно . При этом, вообще говоря, получается n различных выражений для
В этом случае интегрирование уравнения (1.41) свелось к интегрированию n уравнений первой степени. Пусть их общие интегралы будут соответственно:
| (1.42) |
Перемножим левые части интегралов (1.42) и приравняем произведение нулю:
| (1.43) |
Если разрешим уравнение (1.43) относительно y, то мы получим общее решение уравнения (1.41).
Пример.Решить уравнение
В этом случае целесообразно применить метод введения параметра. Он заключается в том, что рассматриваемые переменные выражаются через параметр и решение ищется в параметрической форме.
Положим в виде ; отсюда . К интегралу применим формулу интегрирования по частям, получим
Следовательно,
| (1.46) |
Система уравнений (1.45) и (1.46) является общим решением уравнения (5) в параметрической форме. Исключая, если это возможно, параметр из этих уравнений, получим общий интеграл в форме .
Пример. Решить уравнение .
Решение.
. Или, т.к.
Поступаем аналогично предыдущему. Положим . Тогда уравнение запишется в виде
| (1.48) |
Равенство тогда .
Равенство перепишем Так как , то следовательно . Общее решение запишем в виде
Уравнение, не содержащееили, но не обязательно разрешенное относительноили Уравнение имеет вид
| или |
причем мы предполагаем, что из уравнения удается выразить (в первом) или (во втором), а также . Сравнивая оба выражения для , получим
и .
Решение.
Положим . Тогда уравнение запишется в виде
| (1.51) |
Дифференцируя по , получим
| через , умножения на и алгебраических преобразований,
Это линейное уравнение относительно функции и производной . Его общий интеграл имеет вид
Вместе с уравнением (1.51) он дает общий интеграл уравнения Лагранжа в параметрической форме. Исключая p из равенств (1.51) и (1.53), получим общий интеграл уравнения Лагранжа . Заметим, что произведенное нами преобразование уравнения (1.52) возможно, если . Если уравнение имеет корни , то они дадут также решения . Пример. Решить уравнение Решение. Положим После несложных преобразований получим
откуда Проведя потенцирование, находим
Следовательно, общее решение в параметрической форме имеет вид
Исключим параметр и найдем общее решение:
Уравнение Клеро.Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа, когда . Общий вид уравнения Клеро . Положим , тогда . Продифференцировав по , получим, то есть , откуда или . Из уравнения получаем, что . Подставляя вместо в , получим общее решение уравнения Клеро , представляющее собой геометрически семейство прямых. Решение уравнения Клеро в параметрической форме имеет вид: . В самом деле, из этих уравнений находим, что откуда . Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству . Исключая из двух уравнений системы параметр , получим интеграл уравнения Клеро. |