Пусть функции определены на некотором отрезке[a,b].
Система функций называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если найдутся коэффициенты не все равные нулю, такие что
| . | (3.5) |
Система функций называется линейно независимой, если равенство (3.5) выполняется только при нулевых коэффициентах.
Пример 1.Пусть дана система функций
Но так как , то
Для этой системы нашлись ненулевые коэффициенты, при которых линейная комбинация из функций системы равна 0. Значит, система функции линейно зависима.
Пример 2.Пусть дана система функций .
Рассмотрим уравнение , если ,то это уравнениеn-степени, которое имеетn решений. Система функций линейно независима.
Если функции дифференцируемы n-1 раз. То из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид
Этот определитель также является функцией от x и обозначается
и называется определителем Вронского или вронскианом данной системы функций.
Теорема. Если линейно зависимые на отрезке[a,b] функции, то их определитель Вронского тождественно равен нулю в каждой точке отрезка[a,b]