Доказательство от противного. Предположим, нашлась точка
Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определителем которой являлся бы определитель Вронского для функций , то есть
| . | (3.7) |
Если то система имеет множество решений, то есть кроме нулевого решения ( ) ,являющиеся решениями системы (3.7).
Выберем эти в качестве коэффициентов линейной комбинации
.
Функция y(x) будет являться решением ЛОДУ (3.6) (третье свойство решений ЛОДУ).
Частное решение, согласно первому уравнению системы (3.7) имеет вид
Тогда в соответствии со вторым уравнением системы (3,7).
Рассматривая все производные у(х) вплоть до (n-1), получаем:
.
Убедились, что функция y(x) является решением ЛОДУ (3.6), соответствующим начальным условиями
Но ЛОДУ (3.6), имеющее непрерывные коэффициенты в соответствии с теоремой Пикара имеем единственное решение, определяемое начальными условиями.
Очевидно, что нулевым начальным условиям удовлетворяет тривиальное решение ЛОДУ .
В силу единственности решения уравнения (3.6) можно утверждать, что построенная нами функция
Но это означает - линейно зависимы, что противоречит условию теоремы и следовательно наше предположение о существовании точки такой, что не верно.
Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного дифференциального уравнения называются любые n линейно независимых решений данного уравнения.
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с непрерывными коэффициентами на отрезке [a,b] имеет ФСР на этом отрезке.