Пусть дано ЛОДУ с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами
| (3.8) |
Выберем произвольных чисел, так чтобы составленный из них определитель не был равен нулю, то есть
.
Сформулируем для уравнения (3.8) n задач Коши с начальными условиями:
| . | (3.9) |
Тогда в силу того что для данного уравнения (3.8) справедлива теорема Пикара, любая задача Коши имеет единственное решение.
Обозначим:
- решение первой задач Коши,
- решение второй задачи Коши,
- решение n-ой задачи Коши.
Таким образом, получили n функций , .
Теперь надо показать, что эта система функций является линейно независимой. Составим для , определитель Вронского
.
Этот определитель в точке будет равен и не равен нулю
.
В силу произвольного выбора точки, определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [a,b], следовательно, система функций линейно независима, поэтому образует ФСР ЛОДУ (3.8).