а) Равномерное распределение
НСВ, которая принимает значения только на отрезке [a; b] с постоянной плотностью распределения, называется распределением по равномерному закону.
С =
Найдем вид функции F (x) :
M(X) = ; D(X) = .
б) Нормальное распределение
В дальнейшем будет использоваться интеграл Пуассона:
.
Нормальное распределение наиболее часто встречается в приложениях. С ним приходится сталкиваться при анализе производственных погрешностей, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе в статистической экономике и других областях.
Если СВ X представляет собой сумму большого числа взаимнонезависимых случайных величин , причем влияние каждой из этих СВ на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение либо нормальное, либо близкое к нормальному. Главная особенность нормального закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому стремятся многие другие законы. Впервые нормальный закон распределения был описан Муавром в 1733г.
Функция плотности нормального закона:
.
Функция распределения вероятностей:
Параметры а и имеют определенный вероятностный смысл.
M(X) = а.
D(X) = .
Таким образом, можно схематически построить график функции плотности нормального распределения.
Форма кривой не изменяется при изменении параметра а. Эта кривая переместится вдоль Оx. Если изменяется , то форма кривой изменяется.
На практике часто приходиться находить вероятность того, что нормально распределённая случайная величина принимает значения внутри интервала (α; β).
Если X – N(a; ), то
,
- функция Лапласа
+
Найдем вероятность отклонения значений нормально распределенной СВ от ее среднего значения на величину не более δ.
=
.
Рассмотрим конкретное отклонение СВ Х от математического ожидания.
Пусть , тогда .
- близка к 1
Сами числа 0,6827; 0,9545; 0,9973 принято называть доверительной вероятностью (надежностью) того, что СВ Х принимает значения из соответствующего интервала.
Наиболее надежной, т.е практически достоверной, является вероятность 0,9973. Т.е почти достоверно, что СВ будет принимать значения, отклоняющееся от своего математического ожидания не более чем на утроенное среднее квадратичное отклонение 3 . На практике это утверждение называется «правилом трех σ ».
в) Показательный закон распределения
Пусть Х – НСВ, которая принимает только неотрицательные значения. Ее функция плотности распределения вероятности имеет вид:
, - параметр распределения.
Покажем, что это определение корректно, т.е
=
x
Выразим функцию распределения вероятности:
(х > 0)
(интегрирование по частям) = .
М(Х) = ; D(X) = ; .
Показательный закон распределения применяется в теории массового обслуживания. По этому закону распределено время ремонта, время простоя в очереди, время обслуживания.
Пример:
Среднее время обслуживания покупателя 20 минут. Чему равна вероятность простоя в очереди от 20 до 40 минут.
М(Х) = 20 = ; = .
F(X) =
.