Двумерные СВ

 

Примеры:

Для упрощения в дальнейшем рассмотрим только двумерные СВ

1) (X;Y) – отклонение разрыва снаряда от цели по дальности и по фронту.

2) Случайное положение центра тяжести самолета в пространстве является трехмерной СВ (X;Y;Z).

3) (X;Y;Z;W) – четырехмерная СВ.

В дальнейшем будем рассматривать двумерные СВ.

Каждая из рассмотренных СВ X, Y называется составляющими (компонентами) двумерной СВ.

X и Y могут быть как дискретными, так и непрерывными СВ.

Рассмотрим дискретные двумерные СВ (X;Y). Множество возможных значений дискретной двумерной СВ (x_i; y_j) будет либо конечно, либо бесконечное, но счетное множество.

Правило, по которому каждому значению дискретной двумерной СВ можно поставить соответствующую вероятность, называется законом распределения этой СВ.

Рассмотрим случай, если СВ X, Y принимают конечные множества значений.

X: x₁, … , x_k

Y: y₁, … , y_n

 

 

 

y x	x1	x2	…	xi	…	xk
y1	p11	p21	…	pi1	…	pk1	q1
y2	p12	p22	…	pi2	…	pk2	q2
…	…	…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…	pkj	qj
…	…	…	…	…	…	…	…
yn	p1n	p2n	…	pin	…	pkn	qn
	p1	p2	…	pi	…	pk

 

Так как случайные события ( ); (n k) образуют полную группу событий, то сумма: .

Имея закон распределения ДСВ можно легко составить закон распределения соответствующих компонент.

 

X	x1	x2	…	xk
pi	p1	p2	…	pk

 

 

 

 

Пример:

В каждой из двух урн есть по 6 шаров, которые пронумерованы от 1 до 3.

I: №1 – 1ш; №2 – 2ш; №3 – 3ш.

II: №1 – 2ш; №2 – 3ш; №3 – 1ш.

Х – номер шара, вынутого из 1-ой урны, Y – из второй урны.

 

y x

(X;Y) – закон распределения

 

 

 

 

 

Y
p	1/3	1/2	1/6

 

Табличный закон распределения двумерной СВ применим лишь для дискретных компонент. Введем универсальный способ задания двумерной СВ с помощью (как и в случае одномерной СВ) функции распределения вероятностей, определяемой формулой:

F(x;y) = p(X<x; Y<y) (1)

 

 

Свойства функции F(x,y):

1) 0 F(x;y) 1;

2) Функция F(x;y) является неубывающей по каждому из аргументов, т.е если , , то и

;

3) ;

4) ;

5)

;

6) .

 

Введем понятие функции плотности распределения для двумерной СВ. Оно строится для непрерывной двумерной СВ (как и для одномерной).

X, Y – НСВ (X;Y)

Рассмотрим промежуток и , тогда

 

+

Найдем отношение:

 

;

 

 

Переходя к пределу, при и , мы придем к следующей формуле:

(или p(x;y))

Это функция плотности распределения вероятностей двумерной СВ

(2)

Свойства функции f(x, y):

1) f(x;y) 0

2)

 

 

3) F(x;y) =

4)

Замечание: иногда функцию называют интегральной, а f(x;y) – дифференциальной.

5) Для того, чтобы по известной плотности распределения вероятностей f(x;y) найти функции плотности распределения вероятностей составляющих компонент, необходимо воспользоваться формулами:

, (3)