Теорема 1:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. (Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий)
Доказательство:
Воспользуемся классическим определением вероятности.
Пусть рассматривается n равновозможных исходов, при которых событие А может произойти n1 раз, В – n2 раз. В силу несовместности событий А и В появление хотя бы одного из них будет происходить в n1 + n2 исходах. Тогда вероятность p(A+B) = .
x
Следствие:
Рассмотрим событие А и , тогда А + = u,
p(А + ) = p(u) = 1,
p(А + ) = p(A) + p( ) = 1 p( ) = 1 – р(А).
Для рассмотрения последующих теорем необходимо ввести понятие независимости событий.
Определение: случайные события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Определение: событие В называется зависящим от А, если вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет.
Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность появления события В при условии, что событие А произошло.
Пример:
10 шаров из которых: 7 белых и 3 черных
А: первый вынутый шар - белый
В: второй вынутый шар – белый
Возможны 2 условия опыта:
а) после регистрации цвета вынутый шар в урну возвращается; в этом случае события А и В независимы, так как p(А) = p(В) = 7/10 = 0,7.
б) после регистрации цвета шар в урну не возвращается, тогда вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет: = 6/9 = 2/3, а
= 7/9.
Теорема 2:
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.
P(AB) = p(A) pA(B)
Доказательство:
Для случая классического определения вероятности. Пусть n – общее число равновозможных исходов, образующих полную группу событий.
n 1 – число исходов, благоприятствующих появлению события А ( p(A) = = );
m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А произошло.
Тогда pA(B) = ; значит произведение событий А и В будет происходить в m благоприятствующих исходах.
Следовательно: p(AB) = .
Следствие:
Если событие А и В независимы, то .
Пример:
10 шаров: 7 белых, 3 черных. После регистрации цвета вынутый шар в урну не возвращается. Найдем вероятность того, что оба вынутых шара будут белые:
= = 7/10 6/9 = 7/15
Определение:события A1, A2, … , An называются независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли или не произошли какие-либо другие события из этой совокупности.
Теорема 3: (о вероятности появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий)
Пусть события A1, A2, … , An – независимые в совокупности, p(Ai) = pi,
i = .
Событие – также независимые в совокупности, тогда
P(A1+ A2+ … + An) = 1 – p = 1 – p = 1 – p( )p( ) … p( ) = 1 – q1 q2 … qn (qi = 1 – pi).
Теорема 4: (о вероятности суммы совместных событий)
P(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB).
Доказательство:
Событие А может произойти либо с В, либо с .
p(A) = p(AB + А ) = p(AB) + p (А ) => p (А ) = p(A) - p(AB);
p(B) = p(BA + B ) = p(AB) + p( B) => p( B) = p(B) - p(AB);
Тогда p(A + B) = p( B + А + AB) = p( B) + p (А ) + p(AB) = p(B) - p(AB) + p(A) - p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB)
x
Пример:
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность поражения цели 1-ым стрелком p(A) = p1 = 0,8; 2-ым стрелком p(В) = p2 = 0,6. Найти вероятность того, что после произведенных выстрелов цель поражена.
I способ : p(A + B) = p( B + А + AB) = p(AB) + p( B) + p (А )= p(A) p(B) + +p( )p(B) + p(A)p( ) = 0,8 0,6 + 0,2 0,6 + 0,8 0,4 = 0,92;
II способ : p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB) = 0,8 + 0,6 – 0,8 0,6 = 1,4 – 0,48 = =0,92;
III способ: p(A + B) = 1 - p( )p( ) = 1 – 0,2 0,4 = 1 – 0,08 = 0,92.