НСВ с помощью ряда распределения задать невозможно, поэтому введем в рассмотрение универсальный способ задания СВ.
Определение: функцией распределения СВ X называется вероятность того, что случайная величина X примет значение X < x.
| F(x) = p(X < x) |
.
Иногда функцию распределения вероятностей принято называть интегральной функцией распределения.
Геометрически функция распределения вероятностей определяет вероятность того, что в результате испытания случайная точка на числовой оси примет положение левее от значения x.
Для ДСВ X, которая может принимать значения x1, x2, … , xn:
F(x) =
Из формулы задания следует, что график функции распределения вероятностей для ДСВ имеет вид
Если X – НСВ, то F(x) – непрерывна и график непрерывен.
Свойства функции распределения F(x)
F(x) = p(X < x)
1) F(x) – неотрицательная, 0 F(x) 1
2) p( X < ) = F( ) - F( )
Доказательство:
| Рассмотрим события: А: X < В: X < С: X < | С = А + В, АВ = v |
p(C) = p(A + B) = P(A) + p(B);
p(C) = p(X < ) = F( );
p(A) = p (X < ) = F( );
p(B) = p(C) - p(A);
p( X < ) = F( ) - F( ).
x
Следствие:
Если X – НСВ, то вероятность любого отдельного значения НСВ = 0, т.е :
p(X = ) = 0 (для непрерывной случайной величины).
Доказательство:
X – НСВ, то F(x) – непрерывна
p(X = ) =
x
Поэтому для НСВ справедлива формула
p( X < ) = p( < X < ) = p( < X ) = p( X ) = F( ) - F( ).
3) Функция распределения вероятностей СВ – неубывающая, т.е если (из свойства 2)
4) , .
Замечание:
Кратко свойства функции распределения можно сформулировать так: функция распределения вероятностей – неотрицательная, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям , . Верно и обратное: всякая функция, удовлетворяющая этим условиям, есть функция распределения вероятностей некоторой СВ.
Функция плотности распределения вероятности (дифференциальная)
Дифференциальная функция распределения вероятностей строится только для НСВ.
Пусть F(x) = p(X < x) - функция распределения вероятностей НСВ X. Предположим, что эта функция дифференцируема. Рассмотрим отрезок , найдем вероятность того, что .
- среднее значение вероятности, приходящееся на единицу длины отрезка .
Пусть , тогда
- плотность распределения вероятности в точке х.
Можно записать приближенную формулу:
Элемент принято называть элементом вероятности.
- дифференциальная функция распределения.