1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна:
f(x) 0, (т.к F(x) является неубывающей функцией, а производная всякой неубывающей функции неотрицательна).
2. p( < X < ) = - вероятность того, что случайная величина X примет значение больше , но меньше .
Доказательство:
p( < X < ) = F( ) - F( )
С другой стороны = = = = F( ) - F( ).
Так как правые части равны, то равны и левые.
x
3. F(x) = .
F(x) = p(X < x) = = .
4. Условие нормированности функции распределения вероятности:
= 1.
Доказательство:
= = = = 1- 0 = 1.
x
Геометрически свойство 4 означает, что площадь, ограниченная графиком f(x) и осью Ox = 1.
Замечание:
Функция F(x), как всякая вероятность, есть безразмерная величина, а размерность f(x) – обратная размерности самой СВ X.
Пример:
СВ X задана функцией
Найти:
1) f(x);
2) a;
3) p(0 < X < 3).
1) f(x) =
2) найдем а, используя свойство нормированности:
4а = 1;
а = 1/4.
3) p(0 < X < 3) = F(3) – F(0) = 1 – (1/4 0 + 1/2) = 1/2.