а) Биномиальное распределение – это распределение числа m появлений события А при n независимых испытаниях, при каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Тогда справедлива формула Бернулли:
.
Если n зафиксировать, то закон распределения можно записать в виде таблицы
| X | … | n | |||
| p | qn | … | pn |
Очевидно, что , т.к при n испытаниях вероятность того, что событие А наступит, либо 0, либо 1, … , либо n раз, является достоверным событием.
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Обозначим через Xi число наступлений события А в i-том испытании.
| Xi | ||
| p | q | p |
q = 1 – p
M(Xi) = 0q + 1p = p,
M(Xi2) = 02q + 12 p = p,
Исследуемая случайная величина
M(X) = M( ) = = np.
M(X) = np.
D(Xi) = M(Xi2) – (M(Xi))2 = p – p2 = p(1 - p) = pq.
Так как случайные величины Xi , , независимы в совокупности, то:
D(X) = D( ) = = npq.
D(X) = npq.
.
Замечание:
Особенностью биномиального распределения является то, что вероятность pn(m) сначала возрастает при увеличении mk и достигает наибольшего значения при некотором наивероятнейшем значении mo:
np – q mo np + p
Значение mo является модой биномиального закона распределения. Может оказаться, что этих значений будет 2 (бимодальное распределение).
б) Закон распределения Пуассона
Если увеличение числа испытаний n приводит к тому, что вероятность появления одиночного события p уменьшается, а его математическое ожидание остается постоянной величиной, то вероятность того, что при n испытаниях событие наступит m раз вычисляется по формуле:
если np = , то
или
, где
- среднее число появлений события в n испытаниях
( - параметр этого распределения).
В виде таблицы закон распределения Пуассона имеет вид:
| X | … | m | … | |||
| p | … | … |
Покажем, что введенное определение корректно, т.е. что .
,
, (т.к )
Найдем математическое ожидание и дисперсию:
M(X) = .
M(X) = =np
Рассуждая аналогично, можно показать, что:
D(X) = =np
M(X) = D(X) = .
Закон распределения Пуассона называется законом малых чисел, т.к он применим, главным образом, как закон распределения редких явлений. Пуассоновым распределением хорошо описывается распределение - частиц, испускаемых за определенный промежуток времени; число вызовов, поступающих на телефонную станцию за промежуток времени; число отказов элементов при испытании на надежность сложных устройств.
в) Геометрическое распределение
Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение с параметром p, если вероятность определена по формуле
P(X = m) = qm-1 p
Составим закон распределения в виде таблицы:
| X | … | n | … | |||
| p | p | qp | q2p | … | qnp | … |
Можно показать, что математическое ожидание этого закона M(X) = 1/p, D(X) = q/p2.
Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний в схеме испытаний Бернулли до первого положительного результата.